Trójkąt

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Trójkąt – figura geometryczna o trzech niewspółliniowych wierzchołkach. Odcinki łączące wszystkie pary wierzchołków nazywa się bokami trójkąta. W przestrzeni płaskiej (euklidesowej) suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu (180° czyli $\pi\,$ – zobacz też przypis na końcu artykułu).

[edytuj] Rysunek

Przykład trójkąta (z typowymi oznaczeniami wierzchołków, boków i kątów):

$A, B, C\,$ – wierzchołki trójkąta;
$a, b, c\,$ – boki trójkąta;
$\alpha, \beta, \gamma\,$ – kąty wewnętrzne (uwaga: $\gamma\,$ to kąt leżący przy wierzchołku $C\,$ );
$h\,$ – jedna z trzech wysokości trójkąta.

[edytuj] Rodzaje trójkątów

Trójkąty dzielą się ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary kątów. Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.
trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości.
trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości.


różnoboczny	równoramienny	równoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre.
trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (90° czyli $\frac{\pi}{2}$ ). Boki tworzące kąt prosty określa się przyprostokątnymi, pozostały bok to przeciwprostokątna.
trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.


ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

[edytuj] Miary kątów w trójkącie

We wszystkich rodzajach trójkątów suma ich miar wynosi 180 stopni. W trójkącie równoramiennym kąty leżące przy podstawie są równe. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają po 60 stopni.

[edytuj] Ważne odcinki i punkty w trójkącie

Wysokość trójkąta to odcinek łączący jego wierzchołek z rzutem prostokątnym tego wierzchołka na prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem masy (barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergone'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.


wysokości i ortocentrum	środkowe i barycentrum	symetralne i okrąg opisany	dwusieczne i okrąg wpisany

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków $S_1\,$ , symetralnych boków $S_2\,$ , wysokości $S_3\,$ (odpowiednio: środek ciężkości, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto, $|S_1 S_3|=2|S_1 S_2|\,$ .

[edytuj] Obliczanie pola powierzchni trójkąta

Oznaczenia (patrz też rysunek):

$S\,$ - pole powierzchni;

$a,b,c\,$ - długości boków;

$h\,$ - jedna z wysokości;

$\alpha,\beta,\gamma\,$ - kąty;

$R\,$ - promień okręgu opisanego;

$r\,$ - promień okręgu wpisanego;

$p=\frac{a+b+c}{2}$ - połowa obwodu

Sposób na zapamiętanie wzoru na pole trójkąta

Wzory na pole powierzchni trójkąta:

$S=\frac{ah}{2}$ - połowa iloczynu długości podstawy trójkąta i opuszczonej na nią wysokości

$S=\frac{ab \sin{\gamma}}{2}$ - połowa iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi

$S=\frac{abc}{4R}$

$S=pr\,$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ - wzór Herona

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

$S=\frac{a^2 \sin{\beta} \sin{\gamma}}{2 \sin{\alpha}}$ $= \frac{1}{4} \sqrt{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]} = 2R^2 \sin{\alpha} \sin{\beta} \sin{\gamma}$

W geometrii analitycznej przydatne są także poniższe wzory:

dane współrzędne wierzchołków:

$A=(a_1;a_2)\,$

$B=(b_1;b_2)\,$

$C=(c_1;c_2)\,$

$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1 \end{vmatrix}= \frac{1}{2}|a_{1}b_{2}1+b_{1}c_{2}1+c_{1}a_{2}1-c_{1}b_{2}1-a_{1}c_{2}1-b_{1}a_{2}1|$

$S=\frac{1}{2}|d(\vec{AB},\vec{AC})|=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix}b_1-a_1&b_2-a_2\\c_1-a_1&c_2-a_2\end{vmatrix}|$ (zobacz: wyznacznik).

[edytuj] Obliczanie środka masy

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

$A=(a_1;a_2)\,$

$B=(b_1;b_2)\,$

$C=(c_1;c_2)\,$

ma środek masy w punkcie:

$Q=\left(\frac{a_1+b_1+c_1} 3; \frac{a_2+b_2+c_2} 3\right)$

[edytuj] Nierówność trójkąta

Wizualizacja "działania" nierówności trójkąta

W każdym (niezdegenerowanym) trójkącie zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

$a < b+c\;$

i analogicznie

$b < c+a\;$

$c < a+b\;$

Trójkąt o bokach a, b i c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci

$|b-c|<a<b+c\;$ .

[edytuj] Trójkąt a inne geometrie

W innych geometriach niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego kilometr na południe, kilometr na zachód a potem kilometr na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (w tym na powierzchni Ziemi) obowiązuje geometria eliptyczna a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180° opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.