משולש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק במצולע הקרוי משולש. אם התכוונתם לפירושים ומושגים אחרים ל"משולש", ראו משולש (פירושונים).

בגאומטריה, משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות.

במשולש שלוש זוויות, הקרויות קודקודי המשולש.

תוכן עניינים 1 קשרים בין צלעות וזוויות במשולש 2 קווים ונקודות מיוחדים במשולש 2.1 קטעים וישרים מיוחדים 2.2 נקודות מרכזיות 2.3 מעגל פיירבך 3 חפיפת משולשים 4 דמיון משולשים 5 מדידת גדלים במשולש 5.1 שטח המשולש 6 משולשים מיוחדים 6.1 משולש ישר זווית 6.2 משולש שווה שוקיים 6.3 משולש שווה צלעות 6.4 "משולש הזהב" 7 גופים שפאותיהם כוללות משולשים 8 המשולש בגאומטריות לא אוקלידיות 9 קישורים חיצוניים

[עריכה] קשרים בין צלעות וזוויות במשולש

כל התכונות המפורטות להלן ניתנות להוכחה:

• סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות. תכונה זו, כמו אחדות מהתכונות האחרות המוזכרות בערך זה, מתקיימת רק בגאומטריה האוקלידית (שבה מתמקד ערך זה). בגאומטריות לא אוקלידיות סכום הזוויות שונה - גדול מ-180 מעלות או קטן מ-180 מעלות (ראו הרחבה בסעיף המשולש בגאומטריות לא אוקלידיות להלן).
• מול הזווית הגדולה במשולש נמצאת הצלע הגדולה בו, ומול הזווית הקטנה במשולש נמצאת הצלע הקטנה בו.
• המשפט ההפוך: מול הצלע הגדולה במשולש נמצאת הזווית הגדולה בו, ומול הצלע הקטנה במשולש נמצאת הזווית הקטנה בו.
• סכום אורכיהן של שתי צלעות במשולש גדול מאורך הצלע השלישית.
• זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות שאינן צמודות לה (זווית חיצונית היא הזווית שנוצרת בין המשכה של צלע המשולש ובין הצלע האחרת).

[עריכה] קווים ונקודות מיוחדים במשולש

[עריכה] קטעים וישרים מיוחדים

• הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם הצלע שממולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשניים קרוי חוצה זווית.
• הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו קרוי תיכון.
• הקו היוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, נקרא אנך אמצעי.
• הקטע היוצא מקודקוד של המשולש ומאונך לצלע שממולו קרוי גובה.
• הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות קרוי קטע אמצעים. הוא מקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה.

במשולש שווה צלעות, התיכון, הגובה, האנך האמצעי וחוצה הזווית מתלכדים לקטע אחד.

[עריכה] נקודות מרכזיות

לקטעים אלה, ובעיקר לשלושת הראשונים, יש תפקיד מרכזי בחקירת תכונות המשולש, בעיקר דרך הנקודות שהם מגדירים:

• שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו מצויה במרחק שווה משלוש הצלעות, ולכן היא מרכז המעגל החסום.
• שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו מצויה במרחק שווה משלושת הקודקודים, ולכן היא מרכז המעגל החוסם.
• שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המצויה בשני-שליש הדרך מן הקודקוד לצלע, לאורך כל אחד מן התיכונים. נקודה זאת היא מרכז הכובד של המשולש.
• גם שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

בשנת 1765 הוכיח לאונרד אוילר שמפגש האנכים האמצעיים (U), מפגש התיכונים (S) ומפגש הגבהים (O) נמצאים על ישר אחד, הקרוי ישר אוילר של המשולש, ומסודרים באופן ש-S נמצאת בשני-שליש הדרך מ-O ל-U.

[עריכה] מעגל פיירבך

באותה שנה גילה אוילר גם שתשע נקודות מיוחדות במשולש מצויות כולן על מעגל אחד: אמצעי שלוש הצלעות, הנקודות מהן עולים הגבהים, ואמצעי הקטעים המחברים את הקודקודים עם מפגש הגבהים. את המעגל גילה מחדש (Karl Feuerbach (1800-1834 ב- 1822, והוא קרוי בדרך כלל על-שמו, מעגל פיירבך.

[עריכה] חפיפת משולשים

ערך מורחב – חפיפת משולשים

משולשים חופפים הם זוג משולשים שניתן להזיז, לסובב ולשקף אותם כך שהם יתלכדו זה עם זה, כלומר שלוש הצלעות שלהם ושלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה. היכולת לזהות משולשים חופפים היא כלי בסיסי בגאומטריה האוקלידית, כיוון שמשולשים חופפים הם בעלי תכונות זהות. כך, שטח שני משולשים חופפים הוא שווה, אורכי האנכים שווים, וכן גם רדיוסי המעגל החסום והחוסם, וכו'.

משולשים חופפים הם מקרה פרטי של משולשים דומים.

[עריכה] דמיון משולשים

משולשים דומים הם שני משולשים ששלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה. משולשים חופפים הם גם משולשים דומים, אך משולשים דומים אינם בהכרח חופפים.

הדמיון נקבע לפי כל אחת מן התכונות הבאות:

• שתי זוויות (כלומר - שני משולשים בעלי אותן שתי זוויות, דומים זה לזה)
• שני יחסים בין הצלעות
• יחס אחד בין צלעות וזווית אחת, בתנאי שהזווית בין הצלעות או מול הצלע הגדולה.

במשולשים דומים, בין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים יחס קבוע. היחס בין שטחי המשולשים שווה לריבוע היחס שבין הצלעות.

[עריכה] מדידת גדלים במשולש

אם במשולש, אורכי הצלעות הם a, b ו-c, אז:

• אורך הגובה לצלע c הוא
• אורך התיכון לצלע c הוא
• אורך חוצה הזווית שמול הצלע c הוא

[עריכה] שטח המשולש

ישנן כמה נוסחאות לחישוב שטח המשולש, שהידועה בהן משתמשת באורך b של אחת הצלעות, ובאורך h של הגובה היורד אל אותה צלע: (האיור המצורף מוכיח נוסחה זו).

אם ידועים אורכים a ו- b של שתי צלעות וגודלה של הזווית ביניהן,
אז השטח שווה ל- .

נוסחת הרון משמשת לחישוב שטח המשולש לפי אורכי שלוש צלעותיו.

[עריכה] משולשים מיוחדים

[עריכה] משולש ישר זווית

משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90° נקרא משולש ישר זווית. במשולש זה, הצלע שמול הזווית בת ה-90° נקראת יתר ואילו שתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

• משפט פיתגורס קובע את הקשר בין אורכי הצלעות במשולש ישר זווית.
• התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר (ולהפך, משולש בעל תכונה זו הוא ישר זווית).
• הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי. מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר (ולהפך, משולש בעל תכונה זו הוא ישר זווית)
• במשולש ישר-זווית שאחת מזוויותיו שווה ל30°, הניצב שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך, במשולש ישר זווית שבו אחד הניצבים שווה למחצית היתר, הזווית שמול ניצב זה היא בת 30 מעלות).

[עריכה] משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולהיפך - משולש ששתיים מזוויותיו שוות הוא שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים, חוצה הזווית של זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים, ולהיפך: משולש בו שניים מהם מתלכדים הוא שווה שוקיים.

[עריכה] משולש שווה צלעות

משולש שווה צלעות הוא משולש שמהווה מצולע משוכלל, כלומר- מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. גודל כל אחת מהזוויות הוא 60 מעלות. כל משולש כזה הוא שווה שוקיים (בשלוש דרכים שונות).

במשולש שווה צלעות, חוצה הזווית, התיכון, הגובה והאנך האמצעי מתלכדים לישר אחד.

באמצעות משפט פיתגורס ניתן להוכיח כי

• משולש שווה צלעות שאורך צלעו a, שטחו הוא
• משולש שווה צלעות שאורך גובהו h, שטחו הוא

[עריכה] "משולש הזהב"

בשם "משולש זהב" נקרא משולש שווה שוקיים בעל זווית בסיס של 72 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין הצלע לבסיס הוא יחס הזהב. עם זאת, בישראל השתרש השימוש בשם "משולש זהב" על מנת לתאר דווקא משולש ישר זווית, שזוויותיו הן בנות 90, 60 ו-30 מעלות.

[עריכה] גופים שפאותיהם כוללות משולשים

שלושה מחמשת הגופים האפלטוניים הם גופים שפאותיהם כוללות משולשים: הארבעון (טטראדר), שכל ארבע פאותיו הן משולשים, התמניון (אוקטאדר), שכל שמונה פאותיו הן משולשים, והעשרימון (איקוסהדרון), שכל עשרים פאותיו הן משולשים. בנוסף, במנסרה משולשת שני הבסיסים הם משולשים.

[עריכה] המשולש בגאומטריות לא אוקלידיות

גאומטריות לא אוקלידיות הן גאומטריות שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת. אחד המאפיינים הבולטים המבדילים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריות הלא אוקלידיות הוא סכום הזוויות במשולש (והתכונות הנגזרות ממנו).

בגאומטריה אוקלידית, סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.

בגאומטריה היפרבולית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה. בגאומטריה זו סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות.

בגאומטריה פרויקטיבית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה.בגאומטריה זו סכום הזוויות במשולש תמיד גדול מ-180 מעלות.

בגאומטריה אוקלידית, שטח המשולש אינו תלוי בסכום זוויותיו. בגאומטריה היפרבולית שטח המשולש יחסי לפער שבין סכום זוויותיו ל-180 מעלות.

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: משולשים

• טריגוקליק - אתר עזר בנושא משולשים