Триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Вижте пояснителната страница за други значения на Триъгълник.

Триъгълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла. Може да се дефинира и като част от равнината, ограничена от три точки, нележащи на една права, и трите отсечки, съединяващи тези точки.

[редактиране] Видове триъгълници

В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде:

Равностранен триъгълник - когато дължините на трите страни са равни. В равностранните триъгълници ъглите също са равни (всеки от тях е 60°).
Равнобедрен триъгълник - когато дължините на две от страните са равни. Двете равни страни се наричат бедра, а третата - основа. Този триъгълник има 2 равни ъгъла при основата.
Разностранен триъгълник - когато всичките му страни са с различни дължини. Този триъгълник има три различни ъгъла.


Равностранен	Равнобедрен	Разностранен

Триъгълниците могат да бъдат класифицирани и според големината на най-големия им вътрешен ъгъл:

Правоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има ъгъл от 90°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна във всеки правоъгълен триъгълник. Другите две страни се наричат катети.
Тъпоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл, по-голям от 90°.
Остроъгълен триъгълник е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90°.


Правоъгълен	Тъпоъгълен	Остроъгълен

[редактиране] Основни понятия

Стандартните означения в произволен триъгълник са дадени на следващия чертеж:

Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от Евклид в книги 1-4 от „Елементите“ около 300 г.пр.н.е.

За страните на всеки триъгълник са изпълнени неравенствата:

a < b + c,
b < a + c,
c < a + b.

Еднаквост на триъгълници: Два триъгълника са еднакви, ако съответните им страни и ъгли са равни. Има три признака за еднаквост на триъгълници:

1. Ако две страни на един триъгълник са съответно равни на две страни на друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са еднакви.

2. Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник и страните, съединяващи върховете на тези ъгли, са равни, то триъгълниците са еднакви.

3. Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Подобие на триъгълници — Два триъгълника са подобни, ако ъглите на единия са равни на ъглите на другия и страните, които съединяват върховете на равните ъгли, са пропорционални. Има три признака за подобни триъгълници:

1. Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.

3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

В правоъгълен триъгълник се дефинират основните тригонометрични функции':Синус на един остър ъгъл е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, а косинус е отношението на прилежащия катет към хипотенузата. Тангенс на ъгъла е отношението на срещулежащия към прилежащия катет, а котангенс - отношението на прилежащия към срещулежащия катет.

В евклидовата геометрия сумата на трите ъгъла на всеки триъгълник е равна на 180°. Това правило позволява третият ъгъл да бъде намерен, ако се знаят другите два.

Илюстрация на питагоровата теорема

Питагоровата теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на дължините на страните на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата.

$c^2 = a^2\,+\,b^2.$

Това означава, че ако са известни дължините на всеки две от страните на правоъгълен триъгълник, може да се намери дължината на третата страна. Това може да се види на илюстрацията (известна още и като „Гащите на Питагор“): Лицето на квадрата, построен върху хипотенузата, е равно на сбора от лицата на квадратите, построени върху катетите.

Косинусова теорема:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma.$

В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните или две от тях и ъгълът, сключен помежду им.

Синусова теорема:

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d,$

където d е диаметърът на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна.

[редактиране] Точки, прави и описани окръжности

Описана около триъгълник окръжност се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха.

Център на описаната окръжност

Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаните около тях окръжности

Симетрали в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.

Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав. Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако е центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.

Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър

Височини в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.

Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност

Ъглополовящи в един тръгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на вписаната в триъгълника окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни. Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.

Медицентърът е центърът на тежестта

Медиани в триъгълника са правите, които минават през върховете и средите на срещулежащите им страни. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър на триъгълника. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от медицентъра до средата на срещулежащата страна.

9-точкова окръжност

Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност - окръжността на деветте точки. Останалите три точки са среди на отсечките от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Права на Ойлер

Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центърът на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една права, известна като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност е средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равно на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази права.

Средна отсечка на триъгълник е отсечка, съединяваща средите на две от неговите страни. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата страна на триъгълника. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.

[редактиране] Лице на триъгълник

Изчисляването на лицето на триъгълника, може да стане по няколко начина:

Геометрично:

Лицето S на триъгълника е S = ½bh, където b е дължината на която и да е негова страна, а h - височината, спусната към нея.

За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта на 180°, и то се долепва до първия триъгълник, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепва от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е bh, то лицето на триъгълника е ½bh.

Векторно:

Лице на триъгълник с вектори

Лицето на триъгълника ABC е половината от това и тогава S = ½|AB × AC|.

С помощта на тригонометрични функции:

Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на четрежа вдясно, височината е h = a sin γ. Замествайки h във формулата S = ½bh, лицето на триъгълника може да бъде изразено като S = ½ab sin γ. Лицето на успоредника е ab sin γ.

С помощта на координатна система:

Ако върхът A (0, 0) е в началото на координатната система, а координатите на другите два върха са B = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂), тогава лицето S може да бъде изчислено като 1/2 от абсолютната стойност на детерминантата

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}$

или S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|.

Херонова формула:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

където p = ½ (a + b + c) е полупериметърът на триъгълника.

[редактиране] Триъгълници в неевклидови геометрии

Ако триъгълникът не лежи изцяло в една равнина, то той се подчинява на формулите в т. нар. неевклидови геометрии, а не на посочените по-горе. Пример за такъв триъгълник са точки от земната повърхност с 0° ш. и 0° д., 0° ш. и 90° и.д. и Северния полюс, които вместо върху равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сборът им не е 180°.