Üçgen

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Geometri konuları

Genel Geometri

Üçgen Geometrisi

Çokgenler

Diğer

Herhangi bir üçgen.

Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir.

$[A B] U [A C] U [B C] = A B C$

Burada;

A, B, C noktaları üçgenin köşeleri ve $[A B],[A C],[B C]$ doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. $α$ , $β$ ve $γ$ üçgenin iç açılarıdır.

[değiştir] Matematiksel tanım

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine bir üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

[değiştir] Üçgenin açıları

Üçgenin dış açıları

Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.

$| B C | = a$ , $| A B | = c$ ve $| A C | = b$

$α$ + $β$ + $γ$ =180°

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

[değiştir] Üçgenlerin türleri

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

[değiştir] Kenarlarına Göre


Eşkenar	İkizkenar	Çeşitkenar

[değiştir] Eşkenar Üçgen

Ana madde: Eşkenar Üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgendir. Tüm iç açıları 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

[değiştir] İkizkenar Üçgen

Ana madde: İkizkenar Üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşitir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir

[değiştir] Çeşitkenar Üçgen

Her kenarının uzunluğu farklı olan üçgenlerdir. Tüm iç açıları birbirinden farklıdır.

[değiştir] Açılarına Göre

[değiştir] Dar Açılı Üçgen

Açıları 0-90 arası olan üçgenlerdir.

[değiştir] Dik Üçgen

Ana madde: Dik Üçgen

Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

[değiştir] Geniş Açılı Üçgen

Açılarından biri 90°'den geniş olan üçgenlerdir. Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

[değiştir] Üçgen Bağıntıları

[değiştir] Pisagor Bağıntısı

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

$\ a^2+b^2=c^2$ .

[değiştir] Alan Hesaplaması

[değiştir] Kenardan Yararlanma

Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

$\frac{h.b}{2}=A(ABC)$

[değiştir] Açıdan Yararlanma

Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
$A(ABC)=\frac{a.b.sin\gamma}{2}$

[değiştir] Heron Yöntemi

Çevre uzunluğuna 2u, yarısına dersek alan:

$A(ABC)=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$

[değiştir] Kosinüs Teoremi

Ana madde: Kosinüs teoremi

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da alfa( $α$ ) olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab.cos\alpha}$

[değiştir] Üçgende Yardımcı Elemanlar

[değiştir] Açıortay

Ana madde: Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberidir.

Açıortay

$\frac{|AC|}{|CD|}=\frac{|AB|}{|DB|}$

[değiştir] Açıortay Uzunluğu

$|AD|=\sqrt{|AC||AB|-|BD||DC|}$

[değiştir] Kenarortay

Ana madde: Kenarortay

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı $2 n$ ve $n$ olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
$| A G | = 2 | G D |$ olur.

[değiştir] Kenarortay teoremi

$2V^2_a=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$

[değiştir] Üçgen İle İlgili Teoremler

[değiştir] Seva Teoremi

Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen

Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

$\frac{|CE|}{|EA|}.\frac{|AF|}{|FB|}.\frac{|BD|}{|DC|}=1$

[değiştir] Menelaus Teoremi

Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

$\frac{|FB|}{|FA|}.\frac{|AE|}{|EC|}.\frac{|CD|}{|DF|}=1$

Steward Teoremi

[değiştir] Steward Teoremi

Ana madde: Steward Teoremi

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

$|AD|^2=\frac{c^2.n+b^2m}{m+n}-m.n$

[değiştir] Ayrıca Bakınız

[değiştir] Dış Bağlantılar

Üçgen

Üçgen Türleri: Dik üçgen · İkizkenar üçgen · Eşkenar üçgen
Yardımcı Elemanlar: Açıortay · Kenarortay
Teoremler ve bağıntılar: Pisagor Teoremi · Seva Teoremi · Menelaus Teoremi · Steward Teoremi · Thales Teoremi · Öklid Bağıntıları · Kosinüs teoremi · Sinüs teoremi · Tanjant teoremi

Trigonometri

Açı Ölçü Birimleri: Derece · Radyan · Grad
Trigonometrik işlevler: Sinüs (sin) · Kosinüs (cos) · Tanjant (tan) · Kotanjant (cot) · Sekant (sec) · Kosekant (csc)
Trigonometrik Formüller: Trigonometrik dönüşüm formülleri · Toplam fark formülleri · Kosinüs teoremi · Sinüs Teoremi · Tanjant teoremi
İlgili Konular: Üçgen · Çember · Geometri
Kullanıldığı dallar: Matematik · Geometri · Fizik · Mühendislik · Astronomi

Sayfa kategorileri: Geometri | Üçgen

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.