Driehoek (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een driehoek is een meetkundige figuur die ontstaat door drie punten die niet op een rechte lijn liggen met elkaar te verbinden. De verbindende lijnstukken heten de zijden van de driehoek. De driehoek is de 2-simplex.

Pythagoras bewees dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180 graden was, al denkt men dat de ontdekking gedaan werd door een leerling van hem en uit respect aan hem toegedicht werd.

Er zijn verschillende soorten driehoeken.

Inhoud

1 Indeling op basis van de hoeken
2 Indeling op basis van de zijden
- 2.1 Ontaarde driehoek
3 Oppervlakte
4 3D
5 Vakwerk
6 Zie ook
7 Externe links

[bewerk] Indeling op basis van de hoeken

scherpe driehoek: alle hoeken zijn kleiner dan 90 graden.
rechthoekige driehoek: één van de hoeken is 90 graden.
stompe driehoek: één van de hoeken is groter dan 90 graden.

[bewerk] Indeling op basis van de zijden

Speciale gevallen: als de driehoek twee of drie even lange zijden heeft.

gelijkbenige driehoek: er zijn twee, eventueel drie, even lange zijden. In het laatste geval is de driehoek gelijkzijdig (elke gelijkzijdige driehoek is ook gelijkbenig). De beide hoeken die aan de derde zijde grenzen( de basishoeken)zijn aan elkaar gelijk.
gelijkzijdige driehoek: alle zijden zijn even lang. De drie hoeken zijn ook even groot, namelijk 60°. Verder is vanuit ieder hoekpunt de zwaartelijn tevens de bissectrice en de hoogtelijn. Daarnaast ontstaat er door zes gelijkzijdige driehoeken in elkaar te schuiven een regelmatige zeshoek. Een gelijkzijdige driehoek is een voorbeeld van een regelmatige veelhoek. De formule voor de oppervlakte O van een gelijkzijdige driehoek met zijden van z cm is

$\displaystyle O = \sqrt{0.75} \cdot 0.5z^2$

[bewerk] Ontaarde driehoek

Als de drie hoekpunten op een lijn liggen, dan is er geen sprake van een echte driehoek. Omdat het toch zinvol kan zijn over zo'n driehoek te spreken wordt die driehoek ontaard genoemd.

[bewerk] Oppervlakte

De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van de lengte van een zijde en die van de loodlijn neergelaten van het tegenover deze zijde gelegen hoekpunt op de zijde. Anders geformuleerd: basis × halve hoogte. Men kan ook zeggen: basis × hoogte gedeeld door 2. Een ander manier van het berekenen van de oppervlakte is de formule van Heron.

Handig kan ook de volgende formule zijn:

$\displaystyle 16O^2 = (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)$

Oftewel:

$\displaystyle O = \frac14 \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

Hierin is O de oppervlakte.

[bewerk] 3D

Driehoeken vormen de basis voor 3D berekeningen met polygonen.

[bewerk] Vakwerk

Een driehoek is de eenvoudigste statisch bepaalde constructie die met balken kan worden gemaakt (zie Stabiliteitsverband). Driehoeken vormen de basis van vakwerkconstructies, wat goed te zien is in bepaalde huizen (vakwerkbouw). Ook grote staalskeletbouwsels zoals hijskranen maken hiervan gebruik.