Kolmio

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee geometrista kuviota. Sanan muista merkityksistä, katso kolmio (täsmennyssivu).

Kolmio eli kolmikulmio on yksinkertaisin monikulmio. Kaikki mahdolliset kolmiot voidaan muodostaa siten, että tasolle piirretään kolme pistettä, jotka eivät kaikki ole samalla suoralla ja jotka yhdistetään toisiinsa janoilla. Näin saatuja janoja kutsutaan kolmion sivuiksi. Minkä hyvänsä kolmen ei samalla suoralla olevan pisteen muodostama kolmio määrittää tason avaruudessa. Kolmio on myös ainoa monikulmio, joka aina määrittää avaruudessa tason. Kolmio on siten yksi tasokuvioista.

[muokkaa] Kolmiot tyypeittäin

Kolmiot voidaan luokitella sivujen suhteellisten pituuksien mukaan seuraavasti:

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tästä seuraa myös se, että kaikki tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60 asteen suuruisia. Se on siis myös säännöllinen monikulmio.

Tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua. Tällaisessa kolmiossa on siis myös kaksi yhtä suurta kulmaa. Eripituista sivua kutsutaan tällöin kolmion kannaksi.

Epäsäännöllisessä kolmiossa kaikki sivut ovat eripituisia. Myös kaikki kulmat ovat erisuuruisia.


Tasasivuinen	Tasakylkinen	Epäsäännöllinen

Kolmiot voidaan luokitella myös kulmien perusteella.

Suorakulmaisessa kolmiossa on yksi kulma, joka on tasan 90°:n suuruinen. Suoraa kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja suorankulman viereisiä sivuja kateeteiksi.
Tylppäkulmaisessa kolmiossa on yksi kulma, joka on suurempi kuin 90°.
Teräväkulmaisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat alle 90°:n suuruisia.


Suorakulmainen	Tylppä	Terävä

[muokkaa] Kolmion pinta-alan laskeminen

Kolmion pinta-alan laskeminen on yksinkertainen ongelma, joka tulee usein vastaan erilaisissa tilanteissa. On olemassa useita eri ratkaisutapoja riippuen siitä, mitä kolmiosta tiedetään. Ohessa on eräitä usein käytettyjä kaavoja pinta-alan laskemista varten.

[muokkaa] Geometrinen menetelmä

Kolmion pinta-ala S voidaan laskea kaavalla S = ½bh, jossa b (kanta) on yhden satunnaisesti valitun sivun pituus ja h (korkeus) on kannan etäisyys vastapäisestä kärjestä. Tämä voidaan esittää oheisella piirustuksella.

Kolmio muutetaan aluksi suunnikkaaksi, jolla on kaksinkertainen pinta-ala kolmioon nähden. Seuraavaksi tämä muunnetaan suorakulmioksi.

Annetun kolmion pinta-alan selvittämiseksi (kuvassa vihreällä) tehdään ensin alkuperäisestä kolmiosta kopio (sininen), kierretään se 180° ja liitetään osat yhteen. Näin saadusta suunnikkaasta leikataan palanen irti ja liitetään se nelikulmion toiselle puolelle, jolloin saadaan suorakulmio. Koska suorakulmion ala on bh, annetun kolmion pinta-alan täytyy olla ½bh.

Suunnikkaan pinta-ala ja kahden vektorin ristitulot ovat yhtä suuret.

[muokkaa] Vektorien avulla

Suunnikkaan pinta-ala voidaan laskea myös vektorien avulla.

Kolmion ABC pinta-ala on puolet tästä, eli S = ½|AB × AC|.

Kolmion ABC pinta-ala voidaan laskea myös pistetulona seuraavasti:

$\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, .$

Korkeuden h selvittäminen trigonometrian avulla.

[muokkaa] Trigonometrian avulla

Kolmion korkeus voidaan saada selville trigonometrian avulla. Jos käytämme vasemmalla olevan kuvan merkintöjä, korkeus on h = a sin γ. Kun tämä sijoitetaan yllä johdettuun kaavaan S = ½bh, voidaan kolmion pinta-ala ilmoittaa muodossa

$S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta.$

Koska sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), voidaan kahdesta muusta kulmasta todeta:

$S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).$

Suunnikkaan pinta-ala on luonnollisesti myös ab sin γ.

[muokkaa] Koordinaattien avulla

Jos kärki A sijaitsee karteesisen koordinaattijärjestelmän origossa (0, 0), ja kahden muun kärjen koordinaatit on annettu muodossa B = (x₁, y₁) ja C = (x₂, y₂), niin pinta-ala S on puolet determinantin

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}$