Trikampis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Kitos reikšmės – Trikampis (reikšmės).

Trikampis – paprasčiausias daugiakampis, turintis tris viršūnes ir tris jas jungiančias kraštines. Visų trikampio vidinių kampų suma lygi 180 laipsnių.

Turinys

1 Trikampių rūšys pagal kraštines
2 Trikampių rūšys pagal kampus
- 2.1 Statusis trikampis
- 2.2 Smailusis ir bukasis trikampiai
3 Pagrindinės formulės

[taisyti] Trikampių rūšys pagal kraštines

1 pav. Įvairiakraštis trikampis

Pagal kraštines trikampiai skirstomi į tris rūšis: įvairiakraščius, lygiašonius ir lygiakraščius.

Įvairiakraštis trikampis – trikampis, kurio visos kraštinės skirtingo ilgio.

2 pav. Lygiašonis trikampis

Lygiašonis trikampis – trikampis, kurio dvi kraštinės tokio pat ilgio. Jos vadinamos šoninėmis kraštinėmis, o trečioji – pagrindu. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs. Lygiašonio trikampio aukštinė, pusiaukampinė ir pusiaukraštinė, nubrėžtos į pagrindą sutampa.

3 pav. Lygiakraštis trikampis

Lygiakraštis trikampis – trikampis, kurio visos kraštinės lygios. Visi lygiakraščio trikampio kampai taip pat lygūs.

Žinant lygiakraščio trikampio kraštinės ilgį a, jo plotas randamas pagal formulę

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . \;$

[taisyti] Trikampių rūšys pagal kampus

Pagal kampus trikampiai gali būti smailieji, statieji arba bukieji.

[taisyti] Statusis trikampis

Statusis trikampis – trikampis, kurio vienas kampas yra status.

4 pav. Statusis trikampis ir jo elementai

4 pav. pavaizduoto stačiojo trikampio ABC elementai:

α, β – smailieji trikampio kampai;

a, b -statiniai;

c – įžambinė;

h c

aukštinė, nuleista iš stačiojo kampo viršūnės C į įžambinę;

a c

statinio a projekcija įžambinėje;

b c

statinio b projekcija įžambinėje;

$\angle CAD=\angle BCD= \alpha\;$ ; $\angle CBD=\angle ACD= \beta\;$

Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir to statinio projekcijos įžambinėje geometrinis vidurkis:

$a^2=ca_c\;$ ; $b^2=cb_c\;$

Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis:

$h_c^2=a_cb_c\;$

Prieš statųjį kampą esanti stačiojo trikampio kraštinė vadinama įžambine. Statųjį kampą sudarančios stačiojo trikampio kraštinės vadinamos statiniais. Stačiojo trikampio kraštinių ilgius sieja sąryšis, vadinamas Pitagoro teorema:

$c^2 = a^2 + b^2 . \;$

Stačiojo trikampio ploto formulės:

$S = \frac{c h_c}{2} \;$ ; $S = \frac{a b}{2} . \;$

[taisyti] Smailusis ir bukasis trikampiai

Trikampis, kurio visi trys kampai smailieji, vadinamas smailiuoju trikampiu; trikampis, turintis vieną bukąjį kampą, vadinamas bukuoju trikampiu.

[taisyti] Pagrindinės formulės

[taisyti] Kosinusų teorema

Kosinusų teorema dažniausiai naudojama rasti bet kokio trikampio kraštinėms ir (arba) kampus žinant dvi kraštines ir kampą tarp jų arba visas tris kraštines:

$a^2 = b^2 + c^2-2bc \cos \alpha . \;$

a, b ir c – kraštinių ilgiai, o α – kampas tarp kraštinių b ir c.

Labai dažnai šios teoremos prireikia sprendžiant geometrinius uždavinius, kai reikia rasti kurį nors trikampio kampą, kai nežinomas nei vienas trikampio kampas.

Jei trikampis statusis, tai vienanaris

$2ab \cos \alpha \;$

virsta nuliu, nes 90 laispnių kosinusas lygus nuliui. Tuomet kosinusų teorema tampa Pitagoro teorema. Dėl to ji kartais vadinama apibendrintąja Pitagoro teorema.