Trojúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o geometrii. Další významy jsou uvedeny v článku Trojúhelník (rozcestník).

Trojúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se třemi vrcholy a třemi stranami.

Součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je přesně 180° (π).

Obsah

1 Základní pojmy
2 Znázornění a zápis
3 Vlastnosti trojúhelníku
4 Druhy trojúhelníků
- 4.1 Podle stran
- 4.2 Podle úhlů
5 Výšky, těžnice a střední příčky
6 Obvod a obsah
7 Kružnice opsaná a vepsaná
8 Věty o trojúhelníku
9 Související články
10 Externí odkazy

[editovat] Základní pojmy

Trojúhelník ABC s vrcholy A, B, C a stranami a, b, c

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Trojúhelník nemá úhlopříčky.

[editovat] Znázornění a zápis

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem Δ následovaným výčtem všech vrcholů.

[editovat] Vlastnosti trojúhelníku

Vnitřní úhly: α, β, γ
vnější úhly: α’, β’, γ’ a α’’, β’’, γ’’

Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti:

Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli

a + b > c

a + c > b

b + c > a , kde a, b, c jsou strany trojúhelníka.

| a - b | < c

| b - c | < a

| a - c | < b

Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

α + α’ = β + β’ = γ + γ’ = 180°

α + β = γ’

α + γ = β’

β + γ= α’

α + β + γ = 180°

$\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime = 2\pi$

$\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}$

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2(1 + cosαcosβcosγ)

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 - 2cosαcosβcosγ

Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné.

Vztahy mezi úhly a stranami určují sinová, kosinová a tangentová věta.

Zavedeme-li veličinu $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ , pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$

$\sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ac}}$

$\sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}$

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$

$\cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}$

$\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$

[editovat] Druhy trojúhelníků

[editovat] Podle stran

Obecný trojúhelník (též různostranný) – žádné dvě strany nejsou shodné
Rovnoramenný trojúhelník – dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou
Rovnostranný trojúhelník – všechny strany jsou shodné

Obecný	Rovnostranný	Rovnoramenný

[editovat] Podle úhlů

Ostroúhlý trojúhelník – všechny vnitřní úhly jsou ostré
Pravoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré
Tupoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré

Ostroúhlý	Pravoúhlý	Tupoúhlý

[editovat] Výšky, těžnice a střední příčky

Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Každý trojúhelník má tři výšky. Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum. Menší straně odpovídá větší výška. Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany.

Pro výšky trojúhelníka platí

$v_a:v_b:v_c = \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$

Velikosti výšek jsou určeny vztahy

v a = b sinγ = c sinβ

v b = a sinγ = c sinα

v c = a sinβ = b sinα

Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany.

Velikost těžnice je dána

$t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$

$t_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}$

$t_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$

Střední příčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky. Střední příčky se označují malým písmenem s s dolním indexem příslušné strany.

Osa vnitřního úhlu dělí protější stranu v poměru délek přilehlých stran. Osa vnitřního úhlu dělí tento vnitřní úhel na polovinu. Podobně osa vnějšího úhlu dělí vnější úhel na polovinu. Na obrázku je osa vnitřního úhlu $o c$ , osa vnějšího úhlu $o_c^\prime$ a také těžnice $t c$ a výška $v c$ z vrcholu $C$ . Podobně lze získat osy i u ostatních vrcholů.

Osa trojúhelníku

[editovat] Obvod a obsah

Obvod trojúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran:

o = a + b + c , kde a, b, c jsou strany trojúhelníka

Obsah trojúhelníka S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

S = z . v / 2 , kde v je výška příslušná straně z

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníka vypočítat podle Heronova vzorce

s = o / 2 kde o je obvod trojúhelníka

S = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Obsah trojúhelníka pomocí poloměru kružnice opsané ( $r$ ):

$S=\frac{abc}{4r}=2r^2 \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Obsah trojúhelníka pomocí poloměru kružnice vepsané ( $ρ$ ):

$S=\frac{a+b+c}{2}\rho$

Obsah trojúhelníka pomocí vnitřního úhlu:

$S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha$

[editovat] Kružnice opsaná a vepsaná

Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu.

Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah

$r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}$

Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

Pro poloměr kružnice vepsané platí

$\rho = \frac{1}{2}(a+b+c) \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}$

Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je

$d = \sqrt{r^2 - 2r\rho}$

[editovat] Věty o trojúhelníku

V trojúhelníku platí všelijaké věty, vzorce, poučky. Např.

sinová věta
kosinová věta (zobecnění Pythagorovy věty na nepravoúhlý trojúhelník)
tangentová věta

V pravoúhlém trojúhelníku navíc:

[editovat] Související články

Wikislovník obsahuje slovníkovou definici slova trojúhelník.

Související články obsahuje
Portál Matematika

[editovat] Externí odkazy

Wikimedia Commons nabízí multimediální obsah k tématu

Trojúhelník

Mnohoúhelníky
Trojúhelník • Čtyřúhelník • Pětiúhelník • Šestiúhelník • Sedmiúhelník • Osmiúhelník • Devítiúhelník • Desetiúhelník • Jedenáctiúhelník • Dvanáctiúhelník • Třináctiúhelník • Čtrnáctiúhelník • Patnáctiúhelník • Šestnáctiúhelník • Sedmnáctiúhelník • Osmnáctiúhelník • Devatenáctiúhelník • Dvacetiúhelník

Kategorie: Mnohoúhelníky

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.