Triangolo

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In geometria, il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato da tre angoli o vertici e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto tre è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa.

Indice 1 Caratteristiche 2 Classificazione dei triangoli 2.1 Triangolo degenere 3 Punti notevoli 4 Formulario 4.1 Formule geometriche 4.1.1 Area 4.1.2 Perimetro 4.1.3 Altezza relativa al lato X 4.2 Formule trigonometriche 4.3 Formule analitiche 5 Geometrie non euclidee 6 Voci correlate 7 Altri progetti 8 Collegamenti esterni

[modifica] Caratteristiche

Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

1. è una figura indeformabile, a differenza degli altri poligoni con quattro o più lati;
2. è l'unico poligono a cui è sempre possibile circoscrivere e in cui è sempre possibile inscrivere una circonferenza
3. la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto, ossia 180°: va comunque precisato che tale uguaglianza vale soltanto nella geometria euclidea e non in altri tipi di geometria come la geometria sferica e la iperbolica, dove invece tale somma è, rispettivamente, maggiore e minore di 180°;
4. ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti;
5. almeno due angoli interni sono acuti, non essendo possibile che più di un angolo interno sia retto od ottuso;
6. un angolo retto può essere presente soltanto in un triangolo isoscele od in un triangolo scaleno, ma mai in un triangolo equilatero.

Le ultime tre proprietà sono facilmente verificabili come diretta conseguenza della prima.
Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.
Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.

[modifica] Classificazione dei triangoli

I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza dei lati:

• In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero è anche equiangolo, ovvero i suoi angoli interni sono tutti pari a 60°.
• In un triangolo isoscele due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele ha anche due angoli interni uguali.
• In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Gli angoli interni di un triangolo scaleno sono tutti differenti.

Equilatero	Isoscele	Scaleno

I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.

• Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90° (un angolo retto). Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa; è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti. Per questo triangolo vale il teorema di Pitagora.
• Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90° (un angolo ottuso).
• Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90° (tre angoli acuti).

Rettangolo	Ottusangolo	Acutangolo

[modifica] Triangolo degenere

Un triangolo degenere è un triangolo avente un angolo di 180°. Gli altri due angoli hanno ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: graficamente, il triangolo risulta essere un segmento.

Si può considerare come "triangolo degenere" anche un triangolo in cui alcuni dei vertici stanno "all'infinito": in questo caso si parla piuttosto di triangolo ideale (questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica). Un esempio è il triangolo ideale con un vertice all'infinito e gli altri due vertici aventi angoli retti: il triangolo risulta essere in verità una striscia di lunghezza infinita.

[modifica] Punti notevoli

Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo T i cui vertici denotiamo con A, B e C e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con a, b e c.

• ortocentro di T è l'intersezione delle sue altezze;
• baricentro o centroide di T è l'intersezione delle sue mediane;
• incentro di T è l'intersezione delle sue tre bisettrici, ovvero il centro dell'incerchio di T;
• circocentro di T è l'intersezione dei suoi tre assi, ovvero il centro della sua circonferenza circoscritta (vedi Circumcerchio);
• excentro di T opposto a un suo vertice A è l'intersezione della sua bisettrice in A e delle due bisettrici esterne relative ai due vertici rimanenti B e C;
• punto di Bevan di T è il circocentro del triangolo excentrale di T;
• punto di Apollonio di T è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice A di T con il punto nel quale l'excerchio di T opposto ad A è tangente al cerchio tangente ai tre excerchi di T;
• punto di Gergonne di T è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice A di T con il punto nel quale il lato di T opposto ad A è tangente dell'incerchio di T;
• punto di Nagel di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di T con il punto nel quale il suo lato opposto è tangente del corrispondente excerchio;
• punto di Fermat di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice A di T con il vertice non appartenente a T del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato a opposto ad A ed esterno a T;
• punto di Napoleone di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice A di T con il centro del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato a opposto ad A ed esterno a T;
• centro dei nove punti di T è il centro del cosiddetto cerchio dei nove punti (o cerchio di Feuerbach) di T; questi nove punti comprendono i tre punti medi dei lati di T, i tre piedi delle altezze di T, i punti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di T con l'ortocentro di T.

[modifica] Formulario

[modifica] Formule geometriche

[modifica] Area

L'area di un triangolo è la metà di un rettangolo avente la stessa base (b) e la stessa altezza (h), come da figura, ovvero è uguale al semiprodotto di un generico lato per la relativa altezza.

Formula di Erone

Con la formula di Erone è possibile calcolare l'area conoscendo solo le misure dei tre lati, nella formula seguente s rappresenta la metà del perimetro.

[modifica] Perimetro

P = a + b + c

[modifica] Altezza relativa al lato X

[modifica] Formule trigonometriche

L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza h = a sen γ. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), S = ½ab sen γ. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.

Di conseguenza, per la nota identità sen x = sen(180°-x), l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati a e b e l'angolo compreso γ, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati a e b ma con angolo compreso supplementare (180°-γ)

L'area di un parallelogramma con due lati adiacenti a e b e angolo compreso γ è è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè ab sen γ.

Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il teorema dei seni e il teorema del coseno,quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.

[modifica] Formule analitiche

Date le coordinate dei vertici di qualunque triangolo sul piano cartesiano

[modifica] Geometrie non euclidee

Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le geometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° in presenza di una geometria iperbolica, e superiore in presenza di una geometria ellittica.

[modifica] Voci correlate

• Classi di similitudine dei triangoli
• Triangolo di Reuleax

[modifica] Altri progetti

• Wikiquote contiene citazioni di o su Triangolo

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) Triangle in MacTutor
• (EN) Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
• (EN) Napoleon's theorem A triangle with three equilateral triangles. A purely geometric proof. It uses the Fermat point to prove Napoleon's theorem without transformations by Antonio Gutierrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
• (EN) William Kahan: Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle.
• (EN) Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 1600 interesting points associated with any triangle.
• (EN) Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
• (EN) Triangle constructions, remarkable points and lines, and metric relations in a triangle at cut-the-knot
• (EN) Printable Worksheet on Types of Triangles
• (EN) Compendium Geometry Analytical Geometry of Triangles