Trojuholník

Z Wikipédie

Trojuholník je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s troma vrcholmi a stranami

[upraviť] Klasifikácia trojuholníkov

Trojuholníky môžno triediť podľa relatívnej dĺžky jeho strán:

Rovnostranný trojuholník – všetky strany majú rovnakú dĺžku. Rovnostranný trojuholník je tiež rovnouhlý, t. j. všetky jeho vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť, a to 60°; je to pravidelný mnohoulník. ^[1]
Rovnoramenný trojuholník – má práve dve strany rovnakej dĺžky. Rovnoramenný trojuholník má tiež dva rovnaké vnútorné uhly (sú to uhly, v ktorých obe rovnaké strany sa napájajú na tretiu). Rovnostranný trojuholník je tiež rovnoramenným, ale nie každý rovnoramenný trojuholník je rovnostranný. ^[2]
Rôznostranný trojuholník – všetky strany sú rôzne dlhé. Jeho vnútorné uhly sú taktiež rozdielne.^[3]


Rovnostranný	Rovnoramenný	Rôznostranný

Inou možnosťou klasifikácie trojuholníkov je podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhlu:

Pravouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (pravý uhol). Strana ležiaca oproti pravému uhlu sa nazýva prepona a je najdlhšou stranou v trojuholníku. Ostatné dve strany sa nazývajú odvesny.
Tupouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol).
Ostrouhlý trojuholník – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).


Pravouhlý	Tupouhlý	Ostrouhlý

[upraviť] Základné fakty

Elementárne fakty o trojuholníkoch boli spomenuté Euklidom v knihách 1-4 jeho Základoch okolo roku 300 pr. Kr..

Trojuholník je mnohouholník a 2-simplex. Všetky trojuholníky sú dvojrozmerné (rovinné) útvary.

Hovoríme, že dva trojuholníky sú si podobné, ak ich uhly majú navzájom rovnaké veľkosti. V takom prípade sú dĺžky zodpovedajúcich strán proporciálne. Príkladom podobných trojuholníkov je, keď dva trojuholníky zdieľajú jeden uhol a strany protiľahlé tomuto uhlu sú rovnobežné.

Pravouhlým trojuholníkom a konceptom podobnosti môžeme definovať trigonometrické funkcie sínus a kosínus (ale len pre argumenty od 0°–90°). Sínus a kosínus sú funkcie uhla.

Vo zvyšku tohto odseku budeme predpokladať trojuholník s vrcholmi A, B a C, uhlami α, β a γ a stranami a, b a c. Strana a je protiľahlá vrcholu A a uhlu α; analogicky označíme ostatné strany a uhly.

Trojuholník, s ktorým budeme ďalej pracovať.

V euklidovskej geometrii je súčet vnútorných uhlov α + β + γ rovný dvojnásobku pravého uhla (teda 180° alebo π radiánov). Na základe tohto faktu môžeme ľahko dopočítať veľkosť tretieho uhla, akonáhle poznáme veľkosti zvyšných dvoch.

Pytagorova veta

Veľmi dôležitá veta Pytagorova veta, ktorá hovorí, že v každom pravouhlom trojuholníku je plocha štvorca zostrojeného nad preponous rovná súčtu plôch štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. Ak stran c je prepona, môžeme toto tvrdenie napísať vzorcom:

$c^2 = a^2 + b^2 \,$

To znamená, že keď poznáme dĺžky dvoch strán pravouhlého trojuholníka, môžeme jednoduche dopočítať dĺžku tretej strany.

Pytagorova veta je len špeciálny prípad kosínusovej vety:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma \,$

ktorá už platí vo všetkých trojuholníkoch (uhol γ môže mať ľubovoľnú veľkosť; pre γ = 90° dostaneme $cosγ = 0$ ).

Kosínusovú vetu môžeme použiť, keď chceme vypočítať dĺžky a uhly v trojuholníku, keď poznáme dĺžky všetkých troch strán alebo dĺžky dvoch strán a veľkosť uhla, ktorý zvierajú.

Sínusová veta hovorí:

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d$

kde d je priemer kružnice opísanej trojuholníku (kružnica, ktorá pretína všetky tri vrcholy). Sínusová veta sa dá použiť na spočítanie dĺžok strán, keď poznáme dva uhly a jednu stranu. Keď poznáme dve strany a uhol, ktorý nezvierajú, sínusovú vetu môžeme stále použiť, ale v takom prípade môžeme dostať nula, jedno alebo dve riešenia.

Dva špeciálne pravouhlé trojuholníky sa v geometrii vyskytujú dosť často. Takzvaný "45-45-90" trojuholník pomenovaný podľa veľkosti vnútorných uhlov, pomer jeho strán je $1:1:\sqrt{2}$ . Druhým je „30-60-90“ trojuholník a pomery jeho strán sú $1:\sqrt{3}:2$ (pomery strán sa dajú spočítať sínusovou vetou).

[upraviť] Vzorce

Obvod:

o = a + b + c
$o = 8R\cdot \cos\frac{\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\gamma}{2}$

Heronove vzorce:

s = o / 2 kde o je obvod

S = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Polomer vpísanej kružnice:
$r =4R\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2} \cdot \sin\frac{\gamma}{2}$

Polomer opísanej kružnice:
$R= \frac{a}{2 \sin\alpha}= \frac{b}{2 \sin\beta}= \frac{c}{2 \sin\gamma}$

Výšky:
$v_a = c\cdot\sin\beta = b\cdot \sin\gamma$
$v_b = a\cdot \sin\gamma = c\cdot \sin\alpha$
$v_c = b\cdot \sin\alpha = a\cdot \sin\beta$

Obsah:
$S = \frac{1}{2}\,a v_a = \frac{1}{2}\,b v_b = \frac{1}{2}\,c v_c$
$16\,S^2 = \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 - 2\,\left(a^4+b^4+c^4\right)$
$16\,S^2 = \left(4 a^2 c^2\right) - \,\left(a^2+c^2-b^2\right)^2$