Wielokąt foremny

Z Wikipedii

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby $0^\circ\$ . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że $n\$ -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy $n\$ jest liczbą postaci $2^k p_1, p_2, \ldots p_s\$ , gdzie $p_1, p_2, \ldots p_s\$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

[edytuj] Wzory

$n$ - liczba boków wielokąta foremnego;
$a$ - długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

$\gamma=\pi-\frac{2\pi}{n}\,\! = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

$\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}$

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

$R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}\,\!$

Wzór na promień koła wpisanego w wielokąt foremny:

$r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}\,\!$

Wzór na długość boku wielokąta foremnego:

$a=2\sqrt{R^2-r^2}\,\!$

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

$O=n \cdot a\,$

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}\,\!$

[edytuj] Wielokąty foremne

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny	3	$60^\circ \$	tak
Kwadrat	4	$90^\circ \$	tak
Pięciokąt foremny	5	$108^\circ \$	tak
Sześciokąt foremny	6	$120^\circ \$	tak
Siedmiokąt foremny	7	$128,571^\circ \$	nie
Ośmiokąt foremny	8	$135^\circ \$	tak
Dziewięciokąt foremny	9	$140^\circ \$	nie
Dziesięciokąt foremny	10	$144^\circ \$	tak