Matrice de Vandermonde

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En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom d'Alexandre-Théophile Vandermonde.

Sommaire

1 Présentation
2 Inversibilité
3 Déterminant
- 3.1 Démonstrations
4 Voir aussi

[modifier] Présentation

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

$V=\begin{pmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\ \end{pmatrix}$

( $V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}$ pour tout i et j)

(Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.)

[modifier] Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée ( $m = n$ ). Elle est inversible si et seulement si les $α i$ sont deux à deux distincts.

Demonstration

Si deux coefficients $α i$ sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX=0 pour X de composantes x₀, ... x_n-1

$\begin{cases} x_0 + \alpha_1 x_1 + \alpha_1^2 x_2 + &\dots + \alpha_1^{n-1} x_{n-1}=0\\ & \dots \\ x_0 + \alpha_n x_1 + \alpha_n^2 x_2 + &\dots + \alpha_n^{n-1} x_{n-1}=0 \end{cases}$

Mais en introduisant le polynôme

$P=\sum_{i=0}^{n-1} x_i X^i$

On voit que si X vérifie l'équation VX=0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré. Donc P est nul, et ainsi X=0. Ce qui prouve que V est inversible.

[modifier] Déterminant

Le déterminant d'une matrice $n \times n$ de Vandermonde ( $m = n$ dans ce cas) peut s'exprimer ainsi:

$\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)$

[modifier] Démonstrations

Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire $C i$ ← $C_{i} - (\alpha_1 \times C_{i-1})$ (sur les colonnes, en partant de $C n$ et en remontant jusqu'à $C 2$ ).

Le déterminant reste inchangé puisque: $det U i, j (λ) = 1$ et devient :

$det(V)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ 1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{vmatrix}$

En développant selon la première ligne, il vient tout naturellement :

$det(V)=\begin{vmatrix} \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{vmatrix}$

C’est-à-dire :

$det(V)= (\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\dots(\alpha_n-\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\ 1 & \alpha_4 & \alpha_4^2 & \dots & \alpha_4^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}$

Par récurrence immédiate, on retrouve le résultat annoncé

Autre démonstration

Le déterminant $\quad D_n=D(a_1,a_2,...a_n)$ de la matrice est clairement un polynôme en $\quad a_1, a_2, ...,a_n$ . De plus ce déterminant s'annule lorsque 2 des nombres $\quad a_i, a_j$ sont égaux (puisqu'il y a alors 2 lignes identiques). Par suite ce déterminant est égal à

$\quad Q_n(a_1,a_2,...,a_n).\prod_{1\le i<j \le n} (a_j-a_i)$

où $\quad Q_n$ est lui-même un polynôme.

Cependant le degré en $\quad a_n$ du déterminant est $n - 1$ (il suffit d'imaginer le développement selon la dernière colonne). Comme le degré du terme sous forme de produit est aussi $n - 1$ , $\quad Q_n$ est une constante relativement à $\quad a_n$ . Il en est de même vis-à-vis de toutes les variables, donc c'est une constante que nous désignerons par $k n$ .

Démontrons alors par récurrence que $k n = 1$ pour tout $n$ .

Ceci est évidemment vrai pour $n = 1$ et $2$ . D'autre part, si cette affirmation est vraie jusque $n - 1$ , calculons de 2 manières le coefficient du terme de plus haut degré (n-1) en $a n$ du déterminant $\quad D_n$ . D'une part en développant selon la dernière colonne nous obtenons $\quad D_{n-1}$ (cofacteur de $a_n^{n-1}$ ) et d'autre part avec la formule que nous venons d'établir et l'hypothèse de récurrence

$\quad k_n.\prod_{1\le i<j \le n-1} (a_j-a_i) = k_n.D_{n-1}$

D'où il résulte bien que $k n = 1$ .

Ceci achève la démonstration.

[modifier] Voir aussi

v · d · m Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire