Décomposition polaire

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Sommaire

1 Décomposition polaire d'une matrice réelle
2 Décomposition polaire d'une matrice complexe
3 Références
4 Voir aussi

[modifier] Décomposition polaire d'une matrice réelle

Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

$\left\{\begin{array}{lll} O_n(\R)\times S_n^{++}(\R) &\to &GL_n(\R)\\ (Q,S) &\mapsto & QS \end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{lll} O_n(\R)\times S_n^{++}(\R) &\to &GL_n(\R)\\ (Q,S) &\mapsto & SQ \end{array}\right.$

Autrement dit, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique strictement positive.

Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

$\left\{\begin{array}{lll} O_n(\R)\times S_n^{+}(\R) &\to &\mathcal M_n(\R)\\ (Q,S) \mapsto QS \end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{lll} O_n(\R)\times S_n^{+}(\R) &\to &\mathcal M_n(\R)\\ (Q,S) \mapsto SQ \end{array}\right.$

[modifier] Décomposition polaire d'une matrice complexe

Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

$\left\{\begin{array}{lll} U_n(\mathbb C)\times H_n^{++}(\mathbb C) &\to &GL_n(\mathbb C)\\ (Q,S) &\mapsto & QS \end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{lll} U_n(\mathbb C)\times H_n^{++}(\mathbb C) &\to &GL_n(\mathbb C)\\ (Q,S) &\mapsto & SQ \end{array}\right.$

Autrement dit, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne strictement positive.

Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

$\left\{\begin{array}{lll} U_n(C)\times H_n^{+}(C) &\to &\mathcal M_n(C)\\ (Q,S) \mapsto QS \end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{lll} U_n(C)\times H_n^{+}(C) &\to &\mathcal M_n(C)\\ (Q,S) \mapsto SQ \end{array}\right.$

Remarque. Pour n=1, on retrouve l'écriture $z = r e i θ$ d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

[modifier] Références

R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann 1986, ISBN 2 7056 6040 2 (voir pages 18-20)

[modifier] Voir aussi

v · d · m Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire