Rozkład biegunowy operatora
Z Wikipedii
Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta H nazywamy takie przedstawienie operatora , dla którego
- operator r jest operatorem dodatnim
- u = 0 na jądrze operatora
- u odwzorowuje izometrycznie jądro a na przestrzeń prostopadłą do jądra .
Przedstawienie takie jest jednoznaczne.
Spis treści |
[edytuj] Motywacja
Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać — oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.
[edytuj] Szkic dowodu
Dany jest operator ograniczony . Operator jest dodatni, samosprzężony. Zatem jego widmo jest podzbiorem i można zastosować do niego rachunek funkcji ciągłych dla operatorów samosprzężonych. Niech
W szczególności , co daje dla każdego
Na mocy tożsamości polaryzacyjnej i różnią się tylko izometrią. Nie muszą być to całe przestrzenie Hilberta, zatem istnieje pewna częściowa izometria u taka, że
[edytuj] Przykłady
- Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.