Matrice d'inertie

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La matrice d'inertie est un outil mathématique utilisé pour décrire les efforts d'inertie appliqués à un solide.

[modifier] Notation

Cette matrice s'écrit :

$\begin{bmatrix} I _a(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix} _R$ .

avec $a$ point quelconque du solide $(S)$ , $R$ repère orthonormé direct, $A, B, C$ moments d'inertie par rapport à $\vec x, \vec y, \vec z$ vecteurs unitaires de $R$ et $D, E, F$ produits d'inertie.

[modifier] Calcul des coefficients de la matrice

$A, B$ et $C$ sont des moments d'inertie par rapport à un axe (respectivement $\vec x, \vec y, \vec z$ ).

$A = \int _{(S)} (y^2 + z^2) \,\mathrm dm$
$B = \int _{(S)} (x^2 + z^2) \,\mathrm dm$
$C = \int _{(S)} (x^2 + y^2) \,\mathrm dm$

$E, D$ et $F$ sont des produits d'inertie, ils modélisent une asymétrie géométrique ou massique (solide non homogène) par rapport aux plans $(\vec y, \vec z )$ , $( \vec x, \vec z )$ , $( \vec x, \vec y )$ .

$D = \int _{(S)} (yz) \,\mathrm dm$
$E = \int _{(S)} (xz) \,\mathrm dm$
$F = \int _{(S)} (xy) \,\mathrm dm$

Remarque : En mécanique, l'unité la plus fréquemment utilisée est le Kg.m²

[modifier] Simplification et transport

Pour simplifier l'écriture de la matrice d'inertie, on choisit de l'écrire en $G$ , centre d'inertie du solide $(S)$ . De plus, on choisit un repère compatible avec les plans de symétrie de $(S)$ , s'ils existent.

Exemple d'un arbre de matériau homogène de longueur $L$ , de rayon $R$ , de masse $M$ et avec pour axe principal $\vec x$ .

$\begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} \frac{MR^2}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{MR^2}{4}+\frac{ML^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{MR^2}{4}+\frac{ML^2}{12} \end{bmatrix} _R$ .

Nota : même si le solide ne présente pas de plans de symétrie, les propriétés mathématiques de la matrice d'inertie (matrice symétrique, somme des termes diagonaux strictement positive - sauf si le solide est réduit à un point !) sont telles qu'il existe toujours un repère (en fait six par permutation circulaire et changement de signes, en se limitant aux repères directs) dans lequel la matrice ne comporte que des termes diagonaux. Ce repère s'appelle "repère propre d'inertie" et les trois moments d'inertie correspondants "moments d'inertie principaux".

Pour écrire une matrice d'inertie en un autre point on applique le théorème de Huygens.

Exemple de transport de matrice d'inertie.

Soit

$\begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix} _R$ et $\vec {AG} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}_R$

on aura

$\begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A + M (b^2+c^2) & -F-Mab & -E-Mac \\ -F-Mab & B + M(c^2+a^2) & -D-Mbc \\ -E-Mac & -D-Mbc & C+M(a^2+b^2) \end{bmatrix} _R$