Matrice transposée

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La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})$ est la matrice notée ${}^t \! A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ (parfois aussi notée $A T$ ou ${}^{tr} \! A$ ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$ .

La première notation, avec le t avant le nom de la matrice, est la notation utilisée en France, celle où le t se situe après le nom de la matrice à transposer est une notation américaine. Il est donc préférable de savoir d'où proviennent les exercices !

Si $B = {}^t \! A$ , alors $\forall {(i,j) \in [\![1;m]\!]\times[\![1;n]\!]}, b_{i,j} = a_{j,i}\,$ .

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ alors ${}^t \! A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

[modifier] Propriétés

La transposée ${}^t:\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K}) -> \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ est un isomorphisme ( application bijective )

Démonstration

$t$ est linéaire (revenir à la définition). De plus, ${}^t \! A=0 => A=0$ , donc $t$ est injective. Les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes (et ont la même dimension $n m$ ), donc c'est un isomorphisme.

La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme des transposées de ces deux matrices : ${}^t(A + B) = {}^t\!A + {}^t\!B$
La transposée du produit de deux matrices est égale au produit inversé des transposées de ces deux matrices : ${}^t(A . B) = {}^t\!B . {}^t\!A$
La transposée de l'inverse d'une matrice carrée est égale à l'inverse de la transposée de cette même matrice : ${}^t(A^{-1}) = ({}^t\! A)^{-1}$
Si A désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors .
- Corollaire : Toute matrice diagonale est égale à sa transposée (réciproque fausse).
Une matrice égale à sa transposée est appelée matrice symétrique.

[modifier] Interprétation : dualité

Si $A$ représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée ${}^t \! A$ représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).

Dans le cadre des espaces euclidiens, si $A$ représente une application linéaire par rapport à deux bases orthonormales, alors sa transposée ${}^t \! A$ représente la matrice de l'application adjointe.

[modifier] Voir aussi

v · d · m Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire