Matrice compagnon
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En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire
est la matrice carrée définie de la façon suivante :
(même si certains considèrent qu'il s'agit de la transposée de cette matrice).
Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.
Si le polynôme p(t) possède n racines distinctes λ1,...,λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :
où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1,...,λn.
Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
- A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
- le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
- il existe un vecteur v dans Kn tel que {v, Av, A2v,...,An-1v} est une base de Kn
Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.
