Matrice de passage
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Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.
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[modifier] Définition
Soient un corps commutatif, E un K-espace vectoriel.
Soient deux bases et de E. Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base.
On définit ainsi la matrice de passage de B à B', notée :
- telle que
Les colonnes de cette matrice ne sont autres que les vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.
On peut aussi interpréter la matrice de passage comme la matrice représentative de l'application identité, de E muni de la base B' dans E muni de la base B. On a où est la matrice de IdE relativement à B' et B.
[modifier] Théorème
[modifier] Énoncé
Soit un vecteur , ayant respectivement pour composantes et dans deux bases B et B'.
Alors
[modifier] Démonstration
La décomposition du vecteur dans les deux bases nous donne
De plus,
Par substitution,
La décomposition du vecteur étant unique dans chaque base, on peut procéder à l'identification des coefficients:
- , d'où
[modifier] Inversibilité
Soient B et B' deux bases de E Alors est inversible et