Matrice di Vandermonde

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In algebra lineare, una Matrice di Vandermonde, così chiamata in onore di Alexandre-Théophile Vandermonde, è una matrice che ha i coefficienti sulle righe disposti in progressione geometrica;

$V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\ \end{bmatrix}$

o anche

$V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}$

per tutti gli indici i e j.

[modifica] Determinante di una matrice di Vandermonde

Il determinante di una matrice di Vandermonde n × n si può esprimere come:

$\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i).$

cioè come produttoria di tutte le possibili differenze tra i coefficienti. Questo risultato si dimostra per induzione su $n$ . Per $n = 2$ , abbiamo:

$\det(V)=v_{1,1}v_{2,2} - v_{1,2}v_{2,1}=\alpha_2-\alpha_1=\prod_{1\le i<j\le 2} (\alpha_j-\alpha_i)$

Supponiamo ora che questo sia vero per ogni matrice di Vandermonde di ordine $n - 1$ , e dimostriamolo per una matrice di Vandermonde di ordine $n$ . Sfruttando l'invarianza del determinante rispetto alla moltiplicazione e addizione di colonne (sottraiamo ad ogni colonna la precedente moltiplicata per $α 1$ ) otteniamo:

$\det \left(\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{bmatrix} \right) = \det \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2 (\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ 1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3 (\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n (\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2} (\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{bmatrix} \right)$

Ora sfruttando la linearità del determinante sulle colonne otteniamo:

$\det \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2 (\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ 1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3 (\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n (\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2} (\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{bmatrix} \right)=$

$(\alpha_2-\alpha_1)\det \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3 (\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n (\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2} (\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{bmatrix} \right)$

$= (\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\det \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\ 1 & 1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n (\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2} (\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{bmatrix} \right)$

$= \cdots = \prod_{i=2}^n (\alpha_i - \alpha_1) \det \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\ 1 & 1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & 1& \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-2}\\ \end{bmatrix} \right)$

Osserviamo ora che, calcolando il determinante di quest'ultima matrice con il metodo di Laplace sulla prima riga, esso viene uguale a quello della sottomatrice di dimensione $n-1 \times n-1$ in basso a destra. Ma questa matrice è di Vandermonde, quindi il suo determinante è, per induzione, $\prod_{2\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)$ .

Quindi, unendo tutto, abbiamo:

$\det(V) = \prod_{i=2}^n (\alpha_i - \alpha_1) \prod_{2\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)$

che è ciò che volevamo dimostrare.

Da questa definizione di determinante quindi deriva che le matrici di Vandermonde hanno determinante nullo se e solo se ci sono due coefficienti $α i$ uguali, negli altri casi tutti i termini della produttoria sono non nulli e quindi il determinante è diverso da zero.

Usando la formula di Leibniz per il calcolo dei determinanti, possiamo riscriverla come

$\det(V) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \ldots \alpha_n^{\sigma(n)-1},$

dove S_n sono le permutazioni di {1, 2, ..., n}, e sgn(σ) la segnatura della permutazione σ.

Il rango della matrice V è pari al minimo tra il numero di colonne e il numero di coefficienti $α i$ diversi tra loro.

[modifica] Applicazioni

Le matrici di Vandermonde sono utili per risolvere problemi di interpolazione polinomiale. Trovare i coefficienti u_j del polinomio di grado minore o uguale a n−1

$P(x)=\sum_{j=0}^{n-1} u_j x^j$

con la condizione che

$P(\alpha_i)=\sum_{j=0}^{n-1} u_j (\alpha_i)^j=y_i$

equivale a risolvere il sistema di equazioni lineari

$\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ \vdots \\ u_n\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ \vdots \\ y_n\\ \end{bmatrix}$