Vandermonde-determináns

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt determinánsfajta.

Alakja:

$V(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1\\ x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n\\ x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & \dots & x^2_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & x^{n-1}_3 & \dots & x^{n-1}_n\\ \end{vmatrix}$

[szerkesztés] Kiszámítása

Értéke szorzattá alakítható:

$V(x_1,\dots,x_n)=\prod_{i<j}(x_j-x_i).$

[szerkesztés] Bizonyítás

Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az n=2 eset

$V(x_1,x_2)=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ x_1 & x_2\\\end{vmatrix}=x_2-x_1$

nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a

determináns.

Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1\\ x^2_1 & x^2_2-x^2_1 & x^2_3-x^2_1 & \dots & x^2_n-x^2_1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2-x^{n-1}_1 & x^{n-1}_3-x^{n-1}_1 & \dots & x^{n-1}_n-x^{n-1}_1\\ \end{vmatrix}$

adódik.

E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:

$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \dots & x_n-x_1\\ x^2_2-x^2_1 & x^2_3-x^2_1 & \dots & x^2_n-x^2_1\\ x^3_2-x^3_1 & x^3_3-x^3_1 & \dots & x^3_n-x^3_1\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-1}_2-x^{n-1}_1 & x^{n-1}_3-x^{n-1}_1 & \dots & x^{n-1}_n-x^{n-1}_1\\ \end{vmatrix}$

adódik.

Az első oszlopból $(x 2 - x 1)$ -et, a másodikból $(x 3 - x 1)$ -et, ... sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:

$\begin{vmatrix} 1 & \dots & 1\\ x_2+x_1 & \dots & x_n+x_1\\ x^2_2+x_2x_1+x^2_1 & \dots & x^2_n+x_nx_1+x^2_1\\ \vdots & \ddots &\vdots \\ x^{n-2}_2+x^{n-3}_2x_1+\cdots+x^{n-2}_1 & \dots & x^{n-2}_n+x^{n-3}_nx_1+\cdots+x^{n-2}_1 \\ \end{vmatrix}$

Az utolsó, utolsóelőtti,... sorból egymásután levonva ay előző sor $x 1$ -szeresét $V(x_2,\dots,x_n)$ -et kapjuk azaz