E=mc²

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E = mc² è un'equazione fisica che stabilisce una relazione tra l'energia (E) e la massa (m) di un sistema fisico.

Indice

1 Significato della formula
2 L’energia solare, ossia quando la materia diventa energia
3 Implicazioni
4 Background e conseguenze
5 Applicabilità dell'equazione
- 5.1 Uso della massa relativistica
- 5.2 Uso della massa a riposo
6 Approssimazione per basse energie
7 Einstein e il suo articolo del 1905
8 Contributi di altri
9 Note
10 Voci correlate
11 Collegamenti esterni

[modifica] Significato della formula

Questa formula suggerisce che quando un corpo è a riposo ha ancora dell'energia sotto forma di massa, al contrario di quanto proposto dal sistema Newtoniano secondo il quale un corpo libero fermo non ha energia. Per questa ragione la quantità mc² è a volte chiamata energia a riposo del corpo. La E della formula può essere vista come l'energia totale del corpo, che è proporzionale alla sua massa solo se il corpo è a riposo.

Da un altro punto di vista, una nuvola di fotoni che viaggia all'interno di uno spazio vuoto, con ogni fotone privo di massa a riposo, ha comunque una massa propria, dovuta alla sua energia cinetica.

La formula E = mc², propria della teoria della relatività ristretta, è sicuramente una delle formule fisiche più famose grazie alla sua semplicità. In sostanza, la formula prende in considerazione:

E = Energia, espressa in joule (= N·m = W·s = kg· m²/s²);
m = Massa, espressa in chilogrammi (kg);
c = Velocità della luce, espressa in m/s (299.792.458 m/s, generalmente approssimata a 300.000.000 m/s). Pertanto c² = 9 x 10¹⁶ m²/s².

Diventa quindi facile capire come massa ed energia si equivalgano e come esse siano due facce della stessa medaglia. In sostanza la massa, che è energia estremamente concentrata, scompare quando compare energia e viceversa. In particolare se un corpo assorbe una quantità di energia E la sua massa non si conserva ma aumenta della quantità E/c²; viceversa la massa del corpo diminuisce se perde energia, per esempio emettendo luce.

L'enorme fattore di conversione (c² = 90.000.000.000.000.000) che lega la massa e l'energia spiega come concentrando un grosso quantitativo di energia (= mc²) si possa creare una piccola quantità di materia (massa), e anche come partendo da una piccolissima massa (= E/c²) si possa ottenere un grandissimo quantitativo di energia.

La teoria della relatività ci fornisce, quindi, un’altra sorpresa: poiché la massa non è altro che una forma di energia, essa non si conserva separatamente, ma si aggiunge all’energia cinetica e all’energia potenziale nell’enunciare la conservazione dell’energia meccanica.

Un esempio dell'enorme quantità di energia contenuta nella materia si ha nel decollo dello Space Shuttle: di tutto il propellente usato solo un grammo diventa energia, mentre tutto il resto si converte in fumo e prodotti della combustione. Utilizzando l'energia nucleare la resa aumenta, ma in una comune bomba atomica, ad esempio, viene convertito in energia solo lo 0,5% della massa totale del materiale fissile.

Se fosse possibile convertire per intero la massa in energia, i problemi energetici che oggi fanno tanto discutere sarebbero senza alcun dubbio risolti. Basti pensare che un solo grammo di materia equivale a 90.000 miliardi di Joule (9 x 10¹³ J = 90.000.000 MJ = 90.000 GJ = 90 TJ). Poiché 1 kWh = 3,6 x 10⁶ Joule = 3.600.000 Joule, un grammo di materia equivale a 25.000.000 kWh (= 25.000 MWh = 25 GWh).

La conversione di un chilogrammo di materia (equivalente a 90.000 TJ, ossia a 25 miliardi di kWh = 25.000.000 MWh = 25.000 GWh = 25 TWh) coprirebbe, in pratica, il consumo mensile di energia elettrica in Italia, che 2004 è stato in media di 25.374 GWh (nell’intero anno 2004 è stato di 304.490 GWh). L’equivalenza massa – energia ha dimostrato la sua straordinaria potenza, purtroppo, anche con le bombe atomiche. La bomba di Hiroshima era di 13 kilotoni, che equivalgono a 54,6 TJ (13 x 4,2 x 10¹² J); ma questa energia rappresenta soltanto il 60% di quella che sarebbe sprigionata dalla conversione di un solo grammo di materia (90 TJ).

Il fenomeno della completa e immediata conversione della materia in energia potrebbe verificarsi soltanto nel caso in cui la materia entrasse in contatto con l’antimateria. Fortunatamente l’antimateria non esiste in natura (es. l’anti-idrogeno), altrimenti tutto l’Universo si trasformerebbe in energia con un grande bagliore.

Da sottolineare che l’equazione di Einstein è valida ed è stata verificata sia nei fenomeni fisici macroscopici, come ad esempio nel caso dell'energia solare (vds. paragrafo seguente), sia a livello subatomico (fisica quantistica) nelle collisioni tra particelle elementari (elettroni, protoni e neutroni) che generano nuove particelle aventi complessivamente la stessa energia (massa), nonché negli urti tra fotoni da cui scaturiscono coppie elettrone-positrone, che, in tempi infinitesimali, si annichiliscono tra loro trasformandosi nuovamente in fotoni (energia).

[modifica] L’energia solare, ossia quando la materia diventa energia

Nel Sole, che ha una temperatura interna di 15 milioni °C, mediante le reazioni di fusione termonucleare (fusione protone-protone dei nuclei di idrogeno), ogni secondo 600.000.000 di tonnellate di idrogeno si trasformano in 595.500.000 tonnellate di elio. Quindi, dopo questa trasformazione, mancano all’appello 4.500.000 tonnellate di idrogeno (pari allo 0,75%) che sembrano svanite nel nulla; in realtà questa massa mancante si è trasformata direttamente in energia, ossia in radiazione elettromagnetica, secondo l'equazione di Albert Einstein E=mc².

Inserendo questo valore della massa nell’equazione di Einstein (dove l’energia è espressa in joule = Ws, la massa in kg e c in m/s), si calcola che ad esso corrisponde una quantità di energia pari a: W = 4.500.000.000 x (9 x 10¹⁶) = 405 x 10²⁴ watt, ossia a 405.000 miliardi di terawatt (TW), una quantità di energia impensabile a livello terrestre. Tutta la straordinaria potenza della nostra stella è dovuta alla conversione in energia di questa infinitesima, per il Sole, quantità di massa, paragonabile approssimativamente alla massa di un piccolo gruppo di montagne sulla terra.

Per capire l’enormità di questa energia, che espressa in wattora equivale a 112.500.000.000 TWh, il solo dato che può fungere da termine di paragone è la produzione mondiale di energia elettrica, che nel 2005 è stata di 17.907 TWh (equivalenti a kg. 716,28 di materia). Detto in altri termini, per eguagliare l’energia prodotta dal Sole in un solo secondo, tutti gli impianti di produzione di energia elettrica del nostro pianeta dovrebbero funzionare a pieno regime per i prossimi 6.282.459 anni.

È importante ricordare che anche il processo di fusione nucleare, come tutti i processi fisici di trasformazione, avviene nell'assoluto rispetto della legge di conservazione della massa, scoperta da Lavoisier, e della legge di conservazione dell'energia (primo principio della termodinamica), alla cui scoperta hanno contribuito nella seconda metà del 1800 diversi scienziati (Joule, Carnot, Thomson, Clausius e Faraday): nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma. Einstein, però, ha compreso e dimostrato che il principio di conservazione, complessivamente considerato, coinvolge la materia-energia considerate non più come due realtà separate bensì unitariamente, dato che l'una può trasformarsi nell'altra secondo una esattissima relazione matematica. Ciò che resta sempre costante sul nostro piccolo pianeta e nell'Universo è la somma di massa ed energia.

[modifica] Implicazioni

Nel contesto della teoria della Relatività ristretta, la forte implicazione è che energia e massa sono equivalenti e che, al giorno d'oggi, la massa è considerata una forma di energia. In termini pratici invece, condusse alla bomba atomica e ad altre applicazioni. È una delle equazioni più popolari e meglio conosciute di tutti i tempi. Anche quelli che non ne conoscono esplicitamente il significato hanno un'idea di ciò che vuol dire, per cultura generale.

[modifica] Background e conseguenze

L'equazione risulta dalla ricerca di Albert Einstein riguardo ad una dipendenza dell'inerzia di un corpo con il suo contenuto energetico. Il famoso risultato di questa ricerca è che la massa di un corpo permette effettivamente una misurazione del suo contenuto di energia. Per comprendere l'importanza di questa relazione si può comparare la forza elettromagnetica con la forza gravitazionale. Nel caso dell'elettromagnetismo, l'energia è contenuta in un campo (elettrico e magnetico) associato con la forza e non contenuto nelle cariche. Nel caso gravitazionale invece l'energia è contenuta nella materia stessa. Non è una coincidenza che la massa pieghi lo spaziotempo, al contrario delle cariche delle altre tre forze fondamentali.

$\mathrm{Energia} = \mathrm{Massa}\, \times\, (\mathrm{velocit\grave{a} \; della \; luce \; nel \; vuoto})^2 \,\!$

L'equazione illustra come l'energia massima ottenibile da un oggetto è equivalente alla massa dell'oggetto moltiplicata per il quadrato della velocità della luce.

Questa formula fu cruciale nello sviluppo della bomba atomica. Misurando la massa di diversi nuclei atomici e ricavando da esso la massa dei singoli protoni e neutroni, si può ottenere una stima dell'energia di legame disponibile all'interno di un nucleo atomico. Questo fatto non mostra solo che è possibile rilasciare quest'energia di legame attraverso la fusione di nuclei leggeri o fissione di nuclei pesanti, ma anche che si può stimare la quantità di energia di legame che può essere rilasciata. È importante notare che i protoni e i neutroni non vengono consumati nel procedimento e che anche essi rappresentano una certa quantità di energia.

Una curiosità: originariamente Einstein scrisse l'equazione nella forma $\Delta m = \frac{L}{c^2} \,\!$ (con una $L \,\!$ invece di una $E \,\!$ a rappresentare l'energia, mentre la $E \,\!$ era usata altrove nella dimostrazione sempre per rappresentare l'energia).

Un chilogrammo massa si converte completamente in:

89.875.517.873.681.764 joule (circa 90.000 TJ);
24.965.421.632 kilowattora (circa 25 TWh, che corrispondono al consumo mensile di energia elettrica in Italia);
21,48076431 megatoni;
approssimativamente 0,0851900643 Quads (Unità termiche britanniche).

Da notare che la conversione pratica della massa in energia non è mai efficiente al 100%, anzi. Una conversione teoricamente perfetta risulterebbe dalla collisione di materia e antimateria; in molti casi reali si formano dei sottoprodotti al posto di energia, e perciò solo una piccola parte di massa viene effettivamente convertita. Nell'equazione la massa è energia, ma per chiarezza è più corretto parlare di conversione.

[modifica] Applicabilità dell'equazione

E=mc² si applica a tutti gli oggetti materiali, dando per assunto che la massa sia una derivazione dell'energia o viceversa, e che sia possibile convertire dall'una all'altra. La sua applicabilità agli oggetti in movimento dipende dalla definizione di massa usata nell'equazione.

Di solito questa formula si applica ad un oggetto che non si muove secondo ciò che è possibile osservare rispetto ad un dato sistema di riferimento. Ma lo stesso oggetto potrebbe essere in moto per un osservatore solidale ad un altro sistema di riferimento. In questo caso, per quest'ultimo osservatore, l'equazione non è applicabile.

Vale la pena di notare che, nella fisica moderna, la massa è assoluta e l'energia è relativa. Perciò, tecnicamente, la massa non è energia, e l'energia non è massa. La formula in questione rappresenta la conversione possibile tra massa ed energia.

[modifica] Uso della massa relativistica

Gli articoli originali di Einstein (ad esempio [1]) trattavano "m" come quella che oggi chiamiamo massa relativistica. Questa si relaziona alla massa a riposo m₀ (cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete) nel modo seguente:

$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Ma per ottenere l'equazione $E = m c 2$ , dobbiamo cominciare dall'equazione $E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4$ e porre $p = 0$ , cioè porre $v = 0$ . Ciò significa che abbiamo un caso particolare in cui l'oggetto non si sta muovendo, ed in cui $E 2$ è uguale solo a $m 2 c 4$ , o $E = m c 2$ . Questa formula è vera solo nel caso particolare illustrato (da cui il nome di relatività ristretta). A qualsiasi altra velocità dobbiamo aggiungere il termine $p 2 c 2$ dell'equazione originaria.

Se ora poniamo $v = 0$ nell'equazione $m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ otteniamo $m = m 0$ . Così in riposo, cioè a velocità nulla, la massa a riposo e la massa relativistica sono la stessa quantità, e l'equazione E = mc² può essere riscritta come E = $m 0 c 2$ : non c'è differenza, eccetto forse che dovremmo specificare che $m 0$ è vero per v = 0.

Allora, usando la massa relativistica, l'equazione $E = m c 2$ nel titolo dev'essere riscritta come $E = m 0 c 2$ e non si applica ad oggetti in moto a qualsiasi velocità diversa da 0, perché la $m 0$ qui è valida solo per $v = 0$ , e per $v = 0$ , $m = m 0$ .

[modifica] Uso della massa a riposo

La massa relativistica è usata abbastanza poco dai fisici moderni, che usano "m" per indicare la massa a riposo; in quest'ottica E = mc² è l'energia a riposo dell'oggetto. In questo caso l'equazione si applica solo agli oggetti in quiete; la forma moderna dell'equazione per un oggetto in movimento è

$E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2$ ,

dove $p = γ m v$ è il momento relativistico dell'oggetto e ponendo il caso a velocità zero si riduce a E = mc².

La velocità della luce non può essere superata da un punto materiale almeno per due motivi, entrambi riconducibili alla natura del termine $γ$ :

$\lim_{v \to c} E(v) = \infty.$ In altre parole, per accelerare una massa a velocità superiori a quelle della luce, serve una quantità infinita di energia;

$\mathcal \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \Rightarrow \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} > 0 \Rightarrow v < c.$ Per definizione, il radicando deve essere positivo, e la velocità del corpo strettamente minore di quella della luce.

[modifica] Approssimazione per basse energie

Dato che l'energia a riposo è $m 0 c 2$ , e l'energia totale è data dall'energia cinetica più l'energia a riposo, l'energia cinetica relativistica è data da

$E_\mathrm{cinetica} = E_\mathrm{totale} - E_\mathrm{riposo} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2$

che per piccole velocità è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

$E_\mathrm{cinetica}= \frac{1}{2} m_0 v^2$ .

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo $γ$ in serie di Taylor,

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right)$ .

Inserendolo nell'equazione originaria,

$E_\mathrm{cinetica} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2$ ,

quindi otteniamo

$\frac{1}{2}m_0v^2 = E_{totale} - E_{a riposo}$ ,

$E_{totale} = E_{a riposo} + \frac{1}{2}m_0v^2$ .

l'espressione relativistica dell'energia, che non concorda con l'espressione classica Newtoniana secondo la quale l'energia è solo cinetica. Questo mostra come la relatività sia una correzione di livello più elevato alla meccanica classica e che in situazioni di bassa energia la meccanica classica e quella relativistica non sono equivalenti.

Quello che invece è equivalente è l'espressione dell'energia cinetica, non l'energia totale.

Portando la meccanica classica fuori dai limiti entro i quali era stata teorizzata, cioè portandola nel mondo dell'immensamente grande o immensamente veloce, Einstein provò che la meccanica classica conteneva delle imprecisioni. Nel caso di oggetti più piccoli e più lenti come quelli usati per stabilire le leggi della meccanica, la meccanica classica è un sottoinsieme della meccanica relativistica. Le due teorie si contraddicono solo fuori dal regime classico.

Il legame fra energia nell'espressione relativistica e l'energia cinetica diviene evidente quando si confrontino le rispettive formule: entrambe sono il prodotto di una massa per il quadrato di una velocità.

[modifica] Einstein e il suo articolo del 1905

Albert Einstein non formulò la sua equazione nel modo in cui la conosciamo nel suo articolo del 1905 "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?", pubblicato su Annalen der Physik il 27 settembre), uno degli articoli ora noti sotto la raccolta chiamata Annus Mirabilis Papers, ma lo fece successivamente.

In quell'articolo si dice esattamente questo: 'Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c².', essendo la radiazione in questo caso energia cinetica, ed essendo la massa il concetto di massa usato a quel tempo, lo stesso che oggi chiamiamo energia a riposo

È la differenza nella massa prima della perdita di energia e dopo di essa ad essere uguale a L/c², non l'intera massa dell'oggetto. In quel momento questo concetto era solo teorico e non provato sperimentalmente.

[modifica] Contributi di altri

Einstein non fu il solo ad aver messo in relazione l'energia con la massa, ma fu il primo a presentare questa relazione come parte di una teoria più grande, e oltre a ciò, ad aver dedotto la formula dalle premesse della sua teoria.

Secondo Umberto Bartocci (Università di Perugia, storico di matematici), l'equazione fu pubblicata due anni prima da Olinto De Pretto, un industriale di Vicenza, in Italia, ma questo fatto non è ritenuto importante o accertato dalle correnti storiche principali. Anche se De Pretto introdusse la formula, fu Einstein a collegarla con la Teoria della Relatività.^[1]

Nel 1765 l'Abate Marc-Antoine Laugier, in Observation sur l'Architecture scrive:

[...] Credo che si potrebbe procedere nel seguente modo: si prenda un peso di dieci libbre sollevato ad un'altezza di cento piedi e lo si lasci cadere: esso acquisterà una - force suffisante - data dal prodotto della massa per il quadrato della velocità.

Il prodotto della massa per il quadrato della velocità è, a meno di un fattore numerico, l'energia cinetica.
Ecco dunque la celebre equazione anticipata di 140 anni rispetto alla corretta e completa formulazione.
L'autore è un architetto francese, che tra l'altro conclude la sua trattazione dicendo: "saranno fisici più bravi di me ad utilizzare correttamente questi risultati"^{[citazione necessaria]}.