E=mc²

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הנוסחא מוצגת על גבי בניין טאיפיי 101 לכבוד פתיחת שנת הפיזיקה העולמית 2005

E = mc² היא משוואה מתחום הפיזיקה התאורטית שקובעת את היחס בין מסה (m) לאנרגיה (E) בכל צורה שהיא (למעט מסה). אנרגיה שווה למסה כפול מהירות האור בריבוע.

תוכן עניינים

1 משמעות הנוסחה
2 השלכות
3 רקע ותוצאות
4 ישימות הנוסחה
- 4.1 שימוש במסה יחסית
- 4.2 שימוש במסת מנוחה
5 קירוב במהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור
6 איינשטיין והמאמר של 1905
7 תרומות של אחרים
8 קישורים חיצוניים
9 לקריאה נוספת

[עריכה] משמעות הנוסחה

משמעות הנוסחה היא שלגוף המצוי במנוחה במסגרת התייחסות מסוימת יש עדיין אנרגיה, בצורת מסה, זאת בניגוד להנחה במכניקה ניוטונית שבה גוף במנוחה הוא נטול אנרגיה לחלוטין. מסיבה זו קוראים לעתים קרובות למסה "אנרגית המנוחה" של הגוף. ניתן לראות את ה- E בנוסחה כסך האנרגיה של הגוף, ששווה למסה רק כשהגוף נמצא במנוחה. כאשר הגוף בתנועה, ה-E הופך למסה ועוד האנרגיה הקינטית.

ניתן לתאר זאת גם מהכוון ההפוך. לדוגמה, על אף שלפוטון אין כלל מסת מנוחה, לענן של פוטונים הנע בריק יש מסה אפקטיבית M, מסת המערכת, בשל האנרגיה הקינטית שלהם.

[עריכה] השלכות

בהקשר של תורת היחסות הפרטית, משתמע מהנוסחה שהאנרגיה והמסה הן שקולות, ומסה היא צורה של אנרגיה. באופן שימושי הובילה הנוסחה לפיתוח פצצת האטום וליישומים נוספים. המשוואה הזאת ניפצה לחלוטין את כל התפיסה של פיזיקאים בנוגע למסה, כי בעצם כאשר אומרים אנרגיה מתכוונים למסת מנוחה, שאומר שמסה אינה דבר קבוע, היא משתנה בהתאם למהירות. זוהי אחת המשוואות הנודעות ביותר - אפילו למי שאינו יודע בדיוק מה משמעות הנוסחה יש מושג כלשהו על משמעותה, שאותו קיבל בתרבות בה גדל.

[עריכה] רקע ותוצאות

המשוואה היא תוצאה ממחקרו של אלברט איינשטיין על התלות של התמדה בתכולת האנרגיה. תוצאה מפורסמת של מחקר זה היא שמסה של גוף היא בעצם מידה של תכולת האנרגיה שלו. על מנת להבין את משמעות יחס זה ניתן להשוות את הכוח האלקטרומגנטי לכוח הכבידה. באלקטרומגנטיות מוכלת האנרגיה בשדות (החשמליים והמגנטיים) הקשורים בכוח, ולא במטענים החשמליים. בכבידה, לעומת זאת, מוכלת האנרגיה בחומר עצמו. העובדה שמסה יכולה לכופף מרחב-זמן (בעוד שהמטענים של שאר כוחות היסוד אינם יכולים) איננה מקרית.

$\mbox{Energy} = \mbox{mass}\,\times\,\mbox{(speed of light)}^2$

על פי המשוואה, כמות האנרגיה המקסימלית שניתן להפיק מעצם זהה למסת העצם כפול מהירות האור בריבוע. אפילו למסות קטנות יחסית, ערכה של אנרגיית המנוחה גבוה מאד.

המשוואה הייתה הכרחית לפיתוח פצצת האטום. באמצעות מדידת המסה של גרעיני אטומים שונים, והפחתה ממספר זה את המסה הנפרדת של כל הפרוטונים והנייטרונים הבונים את הגרעין, ניתן לקבל הערכה של אנרגית הקשר בין החלקיקים בגרעין האטום. חישוב זה הראה כי ניתן לשחרר אנרגיית קשר זו באמצעות היתוך של גרעינים קלים או ביקוע של גרעינים כבדים, ואיפשר הערכה של כמות אנרגיית הקשר שניתן לשחרר בתהליך כזה. שימו לב כי המסות של הנייטרונים והפרוטונים נותרים גם בסיום התהליך וגם הם מייצגים כמות של אנרגיה.

פיסת טריוויה שכמעט אינה ידועה היא שבמקור כתב איינשטיין את המשוואה בצורה dm = L/c² (כש"L", במקום "E" מייצגת אנרגיה, שכן האות E נוצלה במאמר במקום אחר על מנת לייצג אנרגיה).

לפי הנוסחה, האנרגיה השקולה לקילוגרם אחד של מסה היא

89,875,517,873,681,764 ג'ול או
24,965,421,632 קילוואט שעה או
21.48076431 מגהטון TNT.

חשוב לציין כי רק לעתים רחוקות מגיע בפועל תהליך התמרה של מסה לאנרגיה לנצילות של 100%. התמרה תאורטית מושלמת מתרחשת בהתנגשות בין חומר לאנטי חומר, אבל ברוב המקרים נוצרים תוצרי לוואי (חלקיקים בעלי מסת מנוחה שאיננה אפס) במקום אנרגיה, ולפיכך מעט מאוד מסה עוברת התמרה בפועל. כפי שנאמר קודם כל מסה היא אנרגיה, אך למען הבהירות, נעשה שימוש במינוח התמרה.

[עריכה] ישימות הנוסחה

את המשוואה E=mc² ניתן להחיל על כל העצמים בעלי מסה, שכן היא קובעת שמסה היא אנרגיה. ישימות הנוסחה לעצמים נעים תלויה בהגדרת המסה בה נעשה שימוש במשוואה.

בדרך כלל, משוואה זו מיושמת על עצם שאינו נע, כפי שהוא נראה מנקודת יחוס שכלפיה העצם אינו זז. אבל, עצם זה יכול להיות בתנועה מנקודת המבט של נקודת ייחוס אחרת, ולכן לנקודת ייחוס שנייה זו, המשוואה אינה ישימה.

ראוי לציון שבפיזיקה המודרנית המסה היא אינווריאנטית בעוד שאנרגיה אינה כזו.

[עריכה] שימוש במסה יחסית

המאמרים המקוריים של איינשטיין (למשל [1]) התייחסו ל- $\ m$ במה שנקרא כיום "מסה יחסית". דבר זה קשור ל"מסת מנוחה" $\ m_0$ (כלומר מסת העצם מנקודת היחוס שבה הוא נייח) בדרך הבאה:

$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

אך כדי להגיע למשוואה $\ E = mc^2$ עלינו להתחיל במשוואה $\ E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ (זוהי למעשה ה"נורמה" היחסותית של וקטור ה 4-תנע במרחב מינקובסקי), כאשר התנע $\ p$ הוא אפס (ולכן גם המהירות $\ v$ היא אפס). כלומר, במקרה במיוחד שבו העצם נייח, $\ E^2$ שווה ל- $\ m^2c^4$ , או $\ E = mc^2$ . זהו המקרה היחידי בו קיימת המשוואה בצורה $\ E = mc^2$ . בכל מהירות אחרת, עלינו להחזיר למשוואה את הגורם $\ p^2c^2$ במשוואה הכללית.

אם נציב כעת $\ v=0$ במשוואה $m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ נקבל $\ m=m_0$ , כך שבזמן מנוחה, כלומר במהירות $\ v=0$ , הכמות של מסת מנוחה שווה לכמות המסה היחסית, וניתן לכתוב את המשוואה $\ E = mc^2$ כ- $\ E = m_0c^2$ : אין הבדל מלבד שייתכן כי נצטרך לומר כי $\ m_0$ הוא עבור $\ v=0$ . אזי, תוך שימוש במסה היחסית, המשוואה $\ E = mc^2$ שבכותרת חייבת להיכתב כ- $\ E = m_0c^2$ ואינה ישימה לעצמים הנעים במהירות כלשהי, אלא רק במהירות אפס, משום שה- $\ m_0$ שכאן הוא רק עבור $\ v=0$ .

המשוואה הכללית ביותר היא

$\ E = m c^2 = \gamma m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2 }}$

[עריכה] שימוש במסת מנוחה

פיזיקאים מודרניים כמעט שאינם עושים שימוש במסת יחסית, והם נוהגים להשתמש ב-m לציין מסת מנוחה כך ש E = mc² היא "אנרגיית מנוחה", כלומר האנרגיה של העצם כשהוא במנוחה. במקרה זה המשוואה ישימה רק לעצמים נייחים. הצורה המודרנית של המשוואה עבור עצם בעל מהירות כלשהי היא:

$E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2$ ,

כאשר $\ p = \gamma mv$ הוא התנע היחסותי של העצם. עובדה זו מצמצמת את E = mc² למקרה של מהירות אפס. לצורך הבהירות, למרות צורת השימוש המודרנית ביתר ערך זה נעשה שימוש ב-m עבור מסה יחסית וב- m₀ עבור מסת מנוחה.

[עריכה] קירוב במהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור

מכיוון שאנרגיה המנוחה היא m₀c², וסך האנרגיה היא אנרגיה קינטית ועוד אנרגיית המנוחה, אזי האנרגיה הקינטית היחסית מבוטאת על ידי

$E_\mathrm{kinetic} = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2$

ובמהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור $(v \ll c)$ מתאים ביטוי זה לביטוי הקלאסי של אנרגיה קינטית.

$E_\mathrm{kinetic}^\mathrm{Classical}= \frac{1}{2} m_0 v^2$ .

ניתן להראות ש- $E_\mathrm{kinetic}^\mathrm{Classical} \approx E_\mathrm{kinetic}$ על ידי הרחבת $γ$ תוך שימוש בטורי טיילור.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right)$ .

הצבה מחדש במשוואה המקורית תתן:

$E_\mathrm{kinetic} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2 = E_\mathrm{kinetic}^\mathrm{Classical}$ ,

מכאן ש-m₀v² = E total - E rest½ או E total = E rest + ½m₀v², הביטוי היחסי של האנרגיה שאינו תואם לביטוי הניוטוני הקלאסי לאנרגיה שהוא קינטי בלבד. ביטוי זה מראה שהיחסות היא תיקון מסדר גבוה יותר למכניקה הקלאסית וכי באנרגיה נמוכה מכניקה ניוטונית ומכניקה יחסית אינן זהות. מה כן זהה? רק הביטוי לאנרגיה הקינטית, לא סך כל האנרגיה.

איינשטיין הראה כבר כי המכניקה הקלאסית שגויה במצבים של מהירויות גבוהות או של עצמים גדולים. במקרה של עצמים קטנים שנעים באיטיות, מהסוג שהיה בשימוש בעת פיתוח המכניקה הקלאסית, המכניקה הקלאסית היא נגזרת של המכניקה היחסית. שתי התורות סותרות האחת את השנייה רק מחוץ לתחום הלימוד הקלאסי.

[עריכה] איינשטיין והמאמר של 1905

אלברט איינשטיין לא ניסח בדיוק משוואה זו במאמר שלו מ-1905 "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("האם ההתמדה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו" שהודפס ב"שנתון הפיזיקה" (Annalen der Physik), ב-27 בספטמבר, אחד מהמאמרים הידועים כיום כמאמרי שנת הפלאות שלו. מה שכתוב במאמר הוא זה: "אם גוף משחרר אנרגיה L בצורת קרינה, קטנה מסתו ב- L/c²", קרינה היא במקרה זה אנרגיה קינטית, והמסה היא מושג המסה כפי שהיה בשימוש באותה תקופה, מה שקרוי כיום מסת מנוחה או מסה אינווריאנטית תלוי בהקשר.

רק ההפרש בין המסה שלפני פליטת האנרגיה למסה שלאחריה שווה ל- L/c², לא כל המסה של העצם. באותה תקופה הייתה קביעה זו השערה תאורטית שלא הוכחה בניסויים.

[עריכה] תרומות של אחרים

איינשטיין לא היה היחיד שקשר אנרגיה למסה, אבל היה הראשון שהציג זאת כחלק מתאוריה רחבה ויותר מכך, הסיק את הנוסחה מתוך ההנחות של תאוריה זו.

לדברי אומברטו ברטוצ'י (היסטוריון של המתמטיקה מאוניברסיטת פרוג'ה), הודפסה הנוסחה שנתיים קודם לכן בידי אולינטו דה פרטו, תעשיין מויצ'נזה, איטליה, אם כי מרבית ההיסטוריונים אינם מקבלים טענה זו או מייחסים לה חשיבות. אפילו אם דה פרטו היה הראשון להציג את הנוסחה, היה זה איינשטיין שקישר אותה עם תורת היחסות.

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: E=mc²

BBC יום הולדת מאה שמח ל-E=mc² (באנגלית)
המאמר מה-27 בספטמבר 1905

[עריכה] לקריאה נוספת

בודאניס דייוויד, E=mc² סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, הוצאת כתר

קטגוריות: תורת היחסות | אנרגיה

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.