Einsteinov vzťah

Z Wikipédie

Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku

E = mc² na taipeiskom mrakodrape Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005

Einsteinov vzťah je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou E a hmotnosťou m telesa:

E = m . c 2

kde c je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica E = mc² opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy“, používa sa ako príklad „zložitej vedy“, čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:

Energia = hmotnosť · (rýchlosť svetla)²

Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad“. Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare m = L / c² (pre energiu použil označenie L namiesto E).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda

89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) alebo
24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21 megaton TNT.

[upraviť] Odvodenie

Nakoľko mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu.

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu E_k:

$E_k =W=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v_2\ne 0)} \mathbf{F}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \mathbf{v}\,d\mathbf{p}=$