Äquivalenz von Masse und Energie

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„Relativitätstheorie“, sechste und letzte Skulptur beim Berliner Walk of Ideas zur FIFA Fußball-Weltmeisterschaft Deutschland 2006

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist die Erkenntnis der relativistischen Physik, dass die Energie $E Ruhe$ jedes ruhenden Teilchens durch seine Masse $m$ festgelegt ist. Die Ruheenergie ist doppelt so groß wie in der newtonschen Mechanik die kinetische Energie des Teilchens wäre, wenn es sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$ bewegte:

$E_{\text{Ruhe}}=m\, c^2\,.$

Die an der Masse ablesbare Ruheenergie ist daher vergleichsweise viele Größenordnungen größer als alltäglich auftretende kinetische Energien. Wenn nicht andere Erhaltungssätze (wie zum Beispiel Ladungserhaltung und Baryonzahlerhaltung) es verhindern, können Teilchen in andere Teilchen mit geringeren Massen übergehen und die dabei freiwerdende Ruheenergie in andere Energieformen (zum Beispiel Strahlung und kinetische Energie anderer Teilchen) umgewandelt werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Erläuterung
2 Massenschale
3 Invariante Masse
4 Geschichte
5 E=mc² und die Atombombe
6 Einsteins Herleitung
7 Herleitung der Energie-Impuls-Beziehung
8 Siehe auch
9 Weblinks
10 Quellen

[Bearbeiten] Erläuterung

Bei einem ruhenden Teilchen sind Masse und Energie äquivalent, das heißt, bis auf einen konstanten Faktor gleich. Aber allgemeiner, bei bewegten Teilchen, bezeichnen Masse und Energie Größen, die sich in mehr als in einem konstanten Faktor unterscheiden.

Die Energie $E(\mathbf{v})$ eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ , $|\mathbf{v}|<c$ , bewegt, ist eine Funktion der Geschwindigkeit

$\ E(\mathbf{v})= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}\$

und bezeichnet eine Erhaltungsgröße. In Stößen und anderen Teilchenreaktionen stimmt die Summe der anfänglichen Energien mit der Summe der späteren Energien überein.

Die hier auftretende Masse $m$ hat einen festen, für das Teilchen charakteristischen Wert. Sie wurde historisch Ruhemasse genannt.

Unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens hängen seine Energie und sein Impuls stets durch die Energie-Impuls-Beziehung (siehe unten) mit der Masse zusammen.

Ändert sich im Kernzerfall das Teilchen, so ist die Masse anfänglich größer als die Summe der Massen der Tochterteilchen. Die anfängliche Energie stimmt hingegen mit der Summe der Energien der Zerfallsprodukte überein.

Für kleine Geschwindigkeiten, wie sie alltäglich auftreten, ist die Energie näherungsweise

$E_{\text{Newton}}= m\,c^2 + \frac{1}{2}\,m \,\mathbf{v}^2$

wie in Newtons Mechanik. Allerdings hat dort die Energie eines ruhenden Teilchens keinen Zusammenhang zu seiner Masse, Zerfälle von schweren Teilchen in leichte sind in nichtrelativistischer Physik genauso denkbar wie umgekehrt.

Die relativistische Physik legt den Wert der Energie des ruhenden Teilchens fest. Da die Lichtgeschwindigkeit um viele Größenordnungen größer ist als in unserer alltäglichen Umgebung die Geschwindigkeit anderer Körper, ist die Ruheenergie um viele Größenordnungen größer als kinetische Energie in alltäglichen Situationen. Zwar lässt die in Wärme umgewandelte kinetische Energie eine Raumkapsel bei der Rückkehr verglühen, wenn sie nicht abgeschirmt wird, dabei ist die kinetische Energie nur ein winziger Bruchteil, ein Milliardstel, der Ruheenergie,

$\left(\frac{v}{c}\right)^2\approx \left(\frac{10\;\text{km/s}}{300\,000\;\text{km/s}}\right)^2 \approx 10^{-9}\,.$

Die newtonsche Näherung ist bei höheren Geschwindigkeiten messbar falsch: Nur die Summe der relativistischen Energien aller einlaufenden Teilchen stimmt bei Stößen und anderen Teilchenreaktionen mit der Summe der relativistischen Energien der auslaufenden Teilchen überein.

[Bearbeiten] Massenschale

Da der Impuls eines Teilchens der Masse $m$ , das sich mit Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ bewegt, in relativistischer Physik

$\mathbf{p}(\mathbf{v})=\frac{m\,\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}$

beträgt (Herleitung siehe unten), hängen die Energie und der Impuls mit der Masse durch die Energie-Impuls-Beziehung

$E^2-\mathbf{p}^2\,c^2 = m^2\,c^4$

zusammen. Im vierdimensionalen Raum aller denkbaren Energie- und Impulswerte liegen gemäß dieser Gleichung die physikalisch möglichen Energien eines Teilchens der Masse $m$ auf einer dreidimensionalen Fläche, der sogenannten Massenschale. Sie ist ein Hyperboloid ( $y 2 - x 2 = 1$ beschreibt eine Hyperbel in der $x$ - $y$ -Ebene).

Die Energie-Impuls-Beziehung gilt auch für Photonen. Sie sind masselos und bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Anders als bei massiven, langsameren Teilchen hängt beim Photon der Betrag seines Impulses nicht von seiner Geschwindigkeit ab. Die Energie eines Photons ist bis auf einen Faktor $c$ der Betrag seines Impulses, seine Masse verschwindet,

$E_{\text{Photon}}= c\,|\mathbf{p}_{\text{Photon}}|\,,\,m_{\text{Photon}}=0\,.$

[Bearbeiten] Invariante Masse

Addiert man bei Teilchenstößen und Teilchenumwandlungen die Energien und Impulse der Teilchen, die anfänglich vorhanden sind, dann definiert die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls durch die Energie-Impuls-Beziehung eine Masse, die invariante Masse $M$ der anfänglichen Teilchen

$M^2\,c^4=\bigl(\sum_i\sqrt{m_i^2\,c^4+\mathbf p_i^2\,c^2}\bigr)^2 -\bigl(\sum_i \mathbf p_i\bigr)^2\,c^2\,.$

Sie ist eine Funktion der erhaltenen Gesamtenergie und des erhaltenen Gesamtimpulses und demnach selbst eine Erhaltungsgröße. Sie stimmt also mit der analog berechneten invarianten Masse der Teilchen überein, die später nach einer Wechselwirkung auslaufen.

Aber die invariante Masse ist keine additive Erhaltungsgröße: Die invariante Masse mehrerer Teilchen ist größer als die Summe der einzelnen invarianten Massen.

Mit $c 2$ multipliziert hat die invariante Masse $M$ die Bedeutung der Energie der einlaufenden Teilchen in ihrem Schwerpunktsystem, (in dem der Gesamtimpuls verschwindet). Ihre Größe schränkt denkbare Teilchenreaktionen ein: Es können bei Teilchenreaktionen nur solche Teilchen entstehen, deren summierte Massen kleiner als die invariante Masse der Ausgangsteilchen sind.

Die Werte der invarianten Masse von Zwei- oder Mehrteilchensystemen sind, anders als die diskreten Massen elementarer Teilchen, kontinuierlich. Findet man bei Zusammenfassung der Energien und Impulse einer Untergruppe von auslaufenden Teilchen immer wieder denselben Wert der invarianten Masse, so weist dies darauf hin, dass es sich um die Zerfallsprodukte eines Teilchens dieser Masse handelt.

[Bearbeiten] Geschichte

Der Zusammenhang zwischen Masse, Energie, und Lichtgeschwindigkeit wurde bereits ab 1880 in Arbeiten zur „elektromagnetischen Masse“ als Konsequenz der maxwellschen Elektrodynamik von unterschiedlichen Autoren bedacht - so z. B. von Joseph John Thomson (1881), Oliver Heaviside (1889), George Frederick Charles Searle (1897), Henri Poincaré (1900), Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902), Hendrik Antoon Lorentz (1904), Friedrich Hasenöhrl (1904). Die dabei angegebenen Formeln hatten bereits eine sehr ähnliche und zum Teil identische Form, wie sie auch Einstein verwendete. Wien und Abraham vertraten die Ansicht, dass die gesamte Masse einer elektromagnetischen Energie gemäß

$m = \frac{4}{3} \frac{E}{c^2}$

entspricht. Die gleiche Formel wurde auch von Hasenöhrl angegeben, welcher berechnte, in welchem Ausmaß elektromagnetische Strahlung zur Gesamtmasse eines Körpers beiträgt. Poincaré hingegen gelangte bei Überlegungen zu actio und reactio zum Ergebnis, dass elektromagnetische Energie einer Masse von

$m = \frac{E}{c^2}$

entspricht. Einstein war dann allerdings der Erste, der die Formel $E = m\,c^2$ in eine umfassende Theorie, die Speziellen Relativitätstheorie, einbetten konnte. Erst dies begründete ihre ausnahmslose Gültigkeit. ^[1]^[2]^[3]

Siehe: Lorentzsche Äthertheorie#Masse, Energie und Geschwindigkeit

Siehe: Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

[Bearbeiten] E=mc² und die Atombombe

Bei der Entwicklung der Atombombe Anfang der 1940er Jahre spielte der Zusammenhang von Ruheenergie und Masse keine besondere Rolle. Bei radioaktiver Strahlung hatten Antoine Henri Becquerel, Marie und Pierre Curie, und Ernest Rutherford ab 1897 beobachtet, dass Kernreaktionen sehr viel energiereicher sind als chemische Reaktionen. Mit der Gleichung $E_{\text{Ruhe}}=m\,c^2$ konnte man diese Energie an den unterschiedlichen Kernmassen ablesen. Man wusste daher, dass bei Spaltung schwerer Atomkerne millionenfach mehr Energie frei wird als bei der Explosion einer gleichen Menge Sprengstoff. Aber die Gleichung sagt nicht, wie man diese Spaltung in Gang setzt.

Entscheidend war die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann und dass die dabei freiwerdenden Neutronen eine Kettenreaktion in angereichertem Uran auslösen können.^[4] ^[5]

Albert Einstein beeinflusste die Entwicklung der Atombombe weniger durch seine physikalischen Erkenntnisse als politisch, nämlich durch seinen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er für die Entwicklung der Atombombe durch die Amerikaner eintrat.

[Bearbeiten] Einsteins Herleitung

Einstein kam 1905 ^[6] durch das folgende Gedankenexperiment auf den Zusammenhang von Masse und Energie. Ein ähnliches Gedankenexperiment hatte Poincaré 1900 bedacht, aber nicht befriedigend klären können. ^[7]

Aus der Elektrodynamik war bekannt, dass ein Lichtpuls nicht nur Energie besitzt, sondern auch Impuls $\mathbf p$ in Richtung des Lichtstrahls, wobei zwischen der Energie $E$ und dem Betrag des Impulses der Zusammenhang

$E= p\,c$

besteht. Um die folgenden Überlegungen einfach zu halten, setzen wir $c=1\,.$ Das heißt, wir benutzen als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt und nennen diese Länge eine Sekunde. Ein Photon der Energie $E$ hat dann einen Impuls mit Betrag $E$ .

Wenn nun ein ruhender Körper mit Energie $\mathcal{E}$ und der Masse $m$ zwei Photonen mit Energie $E$ in entgegengesetzte Richtung ausstrahlt, so vermindert sich wegen der Erhaltung von Energie und Impuls seine Energie um $2 E$ , er bleibt aber in Ruhe und sein Impuls verschwindet auch nachher, weil die Impulse der Photonen entgegengesetzt gleich sind. Fassen wir die beteiligten Energien und Impulse übersichtich in Spalten zusammen, so lautet die Energie-Impulsbilanz vor und nach dem Abstrahlen der Photonen

$\begin{align} \begin{pmatrix} \text{Energie}\\ \text{Impuls} \end{pmatrix}_{\text{vorher}} &= \begin{pmatrix} \mathcal E\\ 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \text{Energie}\\ \text{Impuls} \end{pmatrix}_{\text{nachher}}\\ &= \begin{pmatrix} \mathcal E-2E \\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} E\\ E \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} E\\ -E \end{pmatrix}. \end{align}$

Aus der Sicht eines (in Richtung der Photonen) bewegten Beobachters bewegt sich der Körper vor und nach dem Abstrahlen der Photonen mit einer Geschwindigkeit $v$ . Vor dem Abstrahlen hat er die Energie

$\mathcal E+\frac 12mv^2$

(die Summe von Ruheenergie und kinetischer Energie) und einen Impuls $p = m v$ , zumindest wenn die Geschwindigkeit $v$ so klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, dass Newtons Mechanik zutrifft.

Das Photon, das er mit dem Körper auf sich zukommen sieht, sieht er blauverschoben mit einer um den Dopplerfaktor $1 + v$ vergrößerten Energie und entsprechend vergrößertem Impuls.

Das Photon in Gegenrichtung ist für ihn rotverschoben und hat eine um den Dopplerfaktor $1 - v$ verminderte Energie und entsprechend verkleinerten Betrag des Impulses. Diese Gleichungen gelten wie Newtons Mechanik für kleine Geschwindigkeiten. Die Energie-Impuls-Bilanz für ein langsam bewegtes Teilchen vor und nach den Aussenden der Photonen lautet also

$\begin{pmatrix} \mathcal E+\frac 12 mv^2\\ mv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathcal E'+\frac 12 m'v^2\\ m'v \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} (1+v)E\\ (1+v)E \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (1-v)E\\ -(1-v)E \end{pmatrix}.$

Dabei bezeichnet $m'$ die Masse und

$\mathcal E'+\frac 12 m'v^2$

die Energie des Körpers nach dem Abstrahlen. Die erste Zeile dieser Gleichung, die Energie-Erhaltung, besagt, wenn wir Terme vernachlässigen, die quadratisch in der Geschwindigkeit sind,

$\mathcal E' -\mathcal E = - 2 E,$

dass sich die Ruheenergie des Körpers beim Abstrahlen um $2 E$ vermindert hat. In der zweiten Zeile besagt Impulserhaltung $m v = m' v + 2 v E$ , dass sich die Masse ebenso vermindert hat,

$m'-m = -2E = \mathcal E' -\mathcal E.$

Da sich (bis auf die einfachheitshalber weggelassenen Faktoren $c$ ) die Masse so wie die Ruheenergie ändert, ist sie die Ruheenergie

E Ruhe = m c 2 .

So schön Einsteins Gedankenexperiment ist, die Folgerung ist nicht zwingend: Kein stabiles Teilchen, kein Elektron, Proton oder Neutron, kann in Ruhe Photonen abstrahlen. Das ist physikalisch nur möglich, wenn man auf das Teilchen die dazu erforderliche Energie und den erforderlichen Impuls überträgt.

Es gibt aber auch einen logischen Einwand. Einsteins Überlegung zeigt nur, dass die Differenzen von Masse und Energie bis auf den Faktor $c 2$ gleich sind. Das wäre auch der Fall, wenn zur Ruheenergie ein masseunabhängiger, für jedes Teilchen charakteristischer Beitrag hinzukäme

E Ruhe = m c 2 + E Ruhe, m = 0 .

[Bearbeiten] Herleitung der Energie-Impuls-Beziehung

Wie die Energie und der Impuls eines Teilchens der Masse $m$ von seiner Geschwindigkeit $\mathbf v\,,\ |\mathbf v|<c\,,$ abhängen, ergibt sich in der Relativitätstheorie daraus, dass Energie und Impuls für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Wir bezeichnen sie zusammenfassend mit $p$ . Wenn einem Teilchen eine additive Erhaltungsgröße $p 1$ zukommt und einem anderen Teilchen die Erhaltungsgröße $p 2$ , dann kommt dem System beider Teilchen die Erhaltungsgröße $p = p 1 + p 2$ zu.

Auch ein bewegter Beobachter stellt bei beiden Teilchen Erhaltungsgrößen $p^\prime_1$ und $p^\prime_2$ fest, allerdings haben sie nicht unbedingt dieselben, sondern transformierte Werte. Es muss aber gelten, dass die Summe dieser Werte das Transformierte der Summe ist,

$(p_1+p_2)^\prime=p_1^\prime + p_2^\prime\,.$

Ebenso kommt (für alle Zahlen $a$ ) einem vervielfachten System mit Erhaltungsgröße $a\,p$ für den bewegten Beobachter die vervielfachte Erhaltungsgröße

$(a\,p)^\prime=a\,p^\prime$

zu. Das besagt mathematisch, dass die Erhaltungsgrößen, die ein bewegter Beobachter misst, durch eine lineare Transformation

$p^\prime = L p$

mit den Erhaltungsgrößen des ruhenden Beobachters zusammenhängen.

Die lineare Transformation $L$ ist dadurch eingeschränkt, dass solch eine Gleichung für jedes Paar von Beobachtern gelten muss, wobei die Bezugssysteme der Beobachter durch Lorentztransformationen $Λ$ und Verschiebungen auseinander hervorgehen. Hängen die Bezugssysteme vom ersten und zweiten Beboachter durch $Λ 1$ und vom zweiten zu einem dritten durch $Λ 2$ zusammen, dann hängt das Bezugssystem vom ersten mit dem dritten durch $\Lambda_2\circ\Lambda_1$ zusammen. Genauso müssen die zugehörigen Transformationen der Erhaltungsgrößen

$L(\Lambda_2)\circ L(\Lambda_1)= L(\Lambda_2\circ \Lambda_1)$

erfüllen.

Im einfachsten Fall ist $L (Λ) = Λ$ . Da Lorentztransformationen $4\times 4$ -Matrizen sind, betrifft also das einfachste, nichttriviale Transformationsgesetz, bei dem nicht einfach $p^\prime=p$ gilt, vier Erhaltungsgrößen $p$ , die wie die Raumzeitkoordinaten, als Vierervektor, transformieren,

$p^\prime = \Lambda p\,.$

Im Vorgriff auf das Ergebnis unserer Betrachtung nennen wir diesen Vierervektor den Viererimpuls.

Insbesondere ändert sich ein ruhendes Teilchen nicht bei Drehungen. Daher ändern sich auch nicht diejenigen Komponenten seines Viererimpulses $p$ , die wie ein dreidimensionaler Ortsvektor bei Drehungen in einen gedrehten Vektor übergehen. Der einzige solche Vektor ist aber der Nullvektor. Also hat der Viererimpuls $p$ eines ruhenden Teilchen einen Wert

$\begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,.$

Die Bezeichnung $m$ ist im Vorgriff auf das spätere Ergebnis gewählt, steht hier aber zunächst für irgend einen Wert.

Für einen in $x$ -Richtung bewegten Beobachter hat das Teilchen eine Geschwindigkeit $v$ und einen Lorentztransformierten Viererimpuls (wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen mit $c = 1$ )

$\begin{pmatrix} \frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \\\frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & &\\ \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & &\\ & & 1 &\\ & & & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Entwickelt man die vier Erhaltungsgrößen nach der Geschwindigkeit

$\begin{pmatrix} \frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \\\frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m + \frac{1}{2}\,m v^2 + \dots\\ m\,v + \dots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

und vergleicht man mit Newtons Mechanik, so enthüllt sich die physikalische Bedeutung der Komponenten des Viererimpulses: Die erste Komponente ist die Energie, die drei Komponenten, die sich bei Drehungen wie ein Ortsvektor ändern, sind der Impuls.

So wie in Newtons Mechanik nennt man den geschwindigkeitsunabhängigen Parameter $m$ in der Relation, die den Impuls eines Teilchens als Funktion seiner Geschwindigkeit angibt, die Masse. Sie muss allen Beobachtungen nach positiv sein.

Die Energie ist, wenn wir die konventionellen Faktoren $c$ einfügen,

$E(\mathbf{v})= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}}\,.$

Sie ist nach unten beschränkt und in Ruhe minimal

$E_{\text{Ruhe}}= m\,c^2\,.$

Der Impuls ist

$\mathbf{p}(\mathbf{v})= \frac{m\,\mathbf v}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}}\,.$

Unabhängig von der Geschwindigkeit hängen Energie und Impuls durch die Energie-Impuls-Beziehung mit der Masse zusammen

$E^2 - \mathbf p^2\,c^2= m^2\,c^4\,.$

Andere Erhaltungsgrößen, der Drehimpuls und der anfängliche Energieschwerpunkt, transformieren unter einer sechsdimensionalen Darstellung $L (Λ)$ der Lorentztransformationen.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

E=mc² – Eine Formel und ihre Geschichte Populäre Erklärung der Formel mit Grafiken
Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie So einfach wie möglich, aber nicht einfacher.
Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inkl. Literaturangaben)

[Bearbeiten] Quellen

↑ Born, M.: Die Relativitätstheorie Einsteins. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1964/2003, ISBN 3-540-00470-x.
↑ Whittaker, E.T.: 2. Edition: A History of the theories of aether and electricity, vol. 1: The classical theories / vol. 2: The modern theories 1900-1926. Nelson, London 1951-1953.
↑ Jannsen, M., Mecklenburg, M.: From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron. In: V. F. Hendricks, et.al. (Hrsg.): Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy. Springer, Dordrecht 2007, S. 65–134.
↑ Markus Pössel, Albert-Einstein-Institut: Von E=mc² zur Atombombe und Ist das Ganze die Summe seiner Teile?
↑ Heisenberg, W.: Physics And Philosophy: The Revolution In Modern Science. Harper & Brothers, New York 1958, S. 118-119.
↑ Einstein, A.: Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?. In: Annalen der Physik. 18, 1905, S. 639-643.
↑ Darrigol, O.: The Genesis of the theory of relativity. In: Séminaire Poincaré. 1, 2005, S. 1-22.

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