Stærðfræði

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Evklíð kennir stærðfræði. Hluti af myndinni Skóli Aþenu eftir Raphael.

Stærðfræði er vísindagrein sem beitir ströngum, rökfræðilegum aðferðum til að fást við tölur, rúm, ferla, varpanir, mengi, mynstur, breytingar o.þ.h. Einnig segja sumir að stærðfræði sé þekking sú sem leidd er út með rökréttum hætti frá ákveðnum fyrirframgefnum sannindum sem kallaðar eru frumsendur. Þeir sem starfa við rannsóknir og hagnýtingu á stærðfræði eru kallaðir stærðfræðingar.

Stærðfræði er ein helsta undirstöðugreinin í öllum náttúruvísindum, verkfræði og hagfræði. Hvergi hefur þó orðið jafn sterk samsvörun milli stærðfræðinnar og hins raunverulega heims og í eðlisfræði. Stærðfræðingar gera þó margar rannsóknir á stærðfræðilegum fyrirbærum sem hafa litla merkingu í raunveruleikanum, en aftur á móti hafa slíkar rannsóknir oft leitt til gífurlegra framfara í öðrum vísindagreinum.

[breyta] Saga stærðfræðinnar

Stærðfræði hefur fylgt manninum frá örófi alda, en elstu skráðu heimildir sýna stærðfræði í mikilli notkun í Súmeru og síðar Babýlóníu, þar sem að vitað er að menn hafi þekkt pí, hornasummu þríhyrnings og veldisreikning, svo að fátt eitt sé nefnt. Babýlóníumenn héldu skrár yfir landareignir og búfénað, stunduðu verslun, og skiluðu jafnvel mjög frumstæðum skattaskýrslum. Þessi iðja krafðist skilnings á tölum og einföldum reikniaðgerðum sem giltu um tölurnar, svo sem samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu.

Þó eru til enn þá eldri heimildir um stærðfræði; löngu áður en að ritlistin kom til. Fornleifafræðingar hafa fundið mannvistarleifar í suðurhluta Afríku sem benda til þess að reikningar og tímamælingar (byggðar á staðsetningu stjarna) hafi verið stundaðar um 70.000 f. kr. Ishango beinið, sem fannst við upphaf Nílar (í norðausturhluta Kongó), varðveitir elstu þekktu heimild um runu frumtalna, ásamt nokkrum jafnhlutfallarunum, en beinið er frá um 20.000 f.kr. Fornegyptir hafa gert teikningar af einföldum rúmfræðilegum fyrirbærum um 5.000 f.kr.

[breyta] Indversk stærðfræði

Yngri heimildir eru til frá Indlandi. Eftir hrun siðmenningarinnar í Indus dalnum um 1.500 f.kr. komu fram ýmsir stærðfræðingar. Málfræðingurinn Panini lagði fram málfræðireglur á 5. öld f.kr. fyrir Sanskrít með hætti sem líkist nútímalegu stærðfræðitáknmáli, og hafði táknmálið hans það mikla fágun að það er hægt að búa til Turing vélar með því. Í dag er Panini-Backus málskilgreiningarformið gjarnan notað til þess að skilgreina formleg mál í tölvum, sem er til marks um þá fágun.

Indverski stærðfræðingurinn Pingala, sem lifði á 4. eða 3. öld f.kr. rannsakaði það sem við í dag þekkjum sem Fibbonacci rununa, ásamt Pascalsþrýhyrningnum og tvíundarkerfi. Hann notaðist við einfaldan punkt til þess að tákna núll, en það er eitt af elstu dæmum um að núll hafi fengið sérstakt tákn.

Bakshali handritið, sem var ritað einhvern tímann á milli 200 f.kr. og 200 e.kr. sýnir meðal annars lausnir á línulegum jöfnuhneppum með allt að fimm óþekktum stærðum, lausn annars stigs jöfnu, geometrískar raðir og jafnvel neikvæðar tölur, sem þóttu vafasamar í margar aldir þar á eftir. Einnig virðast Indverskir stærðfræðingar frá Jaina tímabilinu hafa þekkt mismunandi stærðir á óendanleika, mengjafræði, logra, umraðanir og margt fleira.

[breyta] Grísk og Hellenísk stærðfræði

Pýþagóras frá Samos.

Saga grískrar stærðfræði hófst um 500 f.Kr. þegar að Þales og Pýþagóras fluttu þekkingu Babýlóníumanna og Egypta til Grikklands. Þales notaði rúmfræði til þess að reikna hæðir píramída og fjarlægð skipa frá ströndu. Talið er að Pýþagóras hafi lagt fram pýþagórasarregluna, sem er kennd við hann, og að hann hafi notað algebraískar reglur til þess að reikna út pýþagórískar þrenndir.

[breyta] Kínversk stærðfræði

Í Kína árið 212 f.kr. tilskipaði keisarinn Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) að allar bækur skyldu brenndar. Þó svo að þessari tilskipun hafi ekki verið fylgt til hlítar, þá hefur lítið varðveist um sögu Kínverskrar stærðfræði. Það að Kínverjar skrifuðu á bambus gerði lítið til þess að bæta úr því.

Heimildir um talnaritun hafa fundist í skjaldbökuskeljum, en Kínverjar notuðust við tugakerfi sem var þannig að tölur voru ritaðar ofan frá og niður, með tákni hverrar einingar, ásamt tugveldismargföldunartákni inn á milli. Þannig var talan 123 rituð með því að skrifa táknið fyrir 1, svo táknið fyrir hundrað, svo táknið fyrir 2, svo táknið fyrir tug, loks táknið fyrir 3. Á sínum tíma var þetta fullkomnasta talnaritunarkerfi heims, en það gaf færi á útreikningum með reiknitækjum á borð við suan pan og abakus.

Elsta stærðfræðitengda ritið sem lifði af bókabrennuna var I Ching, frá 12. öld f.kr., sem notast við 64 umraðanir strika sem voru ýmist heil eða brotin. Þýski stærðfræðingurinn Gottfried Wilhelm von Leibniz hafði mikin áhuga á þessu riti, og telja sumir að hugmynd hans að tvíundarkerfinu hafi komið þaðan.

Kínverjar uppgötvuðu ýmislegt sem Evrópa fór lengi vel á mis við, á borð við neikvæðar tölur, tvíliðuregluna, notkun fylkjareiknings til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi, og Kínverslu leifaregluna. Einnig þekktu Kínverjar Pascalsþríhyrninginn og þríliður löngu áður en að þær þekktust í Evrópu.

[breyta] Persnesk og Arabísk stærðfræði

Blaðsíða úr bókinni Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala eftir al-Khwarizmi, sem algebra dregur nafn sitt af.

Íslamska heimsveldið sem náði yfir miðausturlönd, norðurhluta Afríku, Íberíuskaga og hluta Indlands (sem nú er Pakistan) á 8. öld varðveitti og þýddi mikið af grískum stærðfræðiritum, sem þá höfðu gleymst víða í Evrópu. Einnig voru þýdd indversk stærðfræðirit, sem höfðu mikil áhrif, og urðu grunnur að gerð arabískra talna, sem við notum í dag.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ritaði inngangsrit að því sem í dag þekkist sem algebra, og er það nafn dregið af einu orði í nafni bókarinnar. Einnig er erlenda nafn reiknirita (algoritmi) dregið af nafni al-Khwarizmi sjálfs. Algebra þróaðist talsvert í höndum Abu Bakr al-Karaji (953-1029), og Abul Wafa þýddi verk Díófantósar, og fann síðar upp tangens.

[breyta] Greinar stærðfræðinnar

[breyta] Stærðir

Mælingar á stærðum, og aðferðir við að gera slíkar mælingar.

$1, 2, \ldots$	$\ldots\ -1, 0, 1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
Náttúrlegar tölur	Heiltölur	Ræðar tölur	Rauntölur	Tvinntölur

Tölur — Náttúrlegar tölur — Heiltölur — Ræðar tölur — Óræðar tölur — Rauntölur — Tvinntölur — Hýpertvinntölur — Fertölur — Firðir — Átttölur — Raðtölur — Fjöldatölur — P-legar heiltölur — Heiltöluraðir — Stærðfræðilegir fastar — Talnaheiti — Óendanleiki — Stærðfræðilegir fastar — Áhugaverðar tölur — Grunnur

[breyta] Breyting

Aðferðir til þess að lýsa og höndla breytingar í stærðfræðilegum föllum, og breytingar milli talna.

$36 \div 9 = 4$			$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$
Reikningur	Örsmæðareikningur	Vigragreining	Stærðfræðigreining
$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Deildarjöfnur	Hreyfikerfi	Óreiðukenningin

Talnareikningur — Stærðfræðigreining — Vigrastærðfræðigreining — Töluleg greining — Diffurjöfnur — Hreyfikerfi — Óreiðukenningin — Listi af föllum

[breyta] Bygging

Skilgreiningar á stærð, samhverfni og stærðfræðimynstur.


Hrein algebra	Talnafræði	Grúpufræði

Grannfræði	Ríkjafræði	Raðfræði

Algebra — Hrein Algebra — Talnakenningin — Algebraísk rúmfræði — Grúpufræði — Einungar — Stærðfræðigreining — Grannfræði — Línuleg algebra — Málfræði — Netafræði — Allsherjaralgebra — Ríkjafræði

[breyta] Rúm

Tengsl einstakra eiginda.


Grannfræði	Rúmfræði	Hornafræði	Diffurrúmfræði	Brotarúmfræði

Grannfræði — Rúmfræði — Hornafræði — Algebraísk rúmfræði — Diffurrúmfræði — Diffurgrannfræði — Algebraísk grannfræði — Línuleg algebra — Brotarúmfræði

[breyta] Strjál stærðfræði

Strjál stærðfræði felur í sér aðferðir sem eiga við um hluti sem geta eingöngu tekið á sig fastákveðin, aðgreind gildi.

$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Fléttufræði	Mengjafræði	Reiknikenningin	Dulmálsfræði	Netafræði

Talningarfræði — (Hversdagsleg) Mengjafræði — Líkindafræði — Reiknikenningin — Endanleg stærðfræði — Dulmálsfræði — Netafræði — Leikjafræði — Frumtölur — Frumþáttun

[breyta] Heimfærð stærðfræði

Heimfærð stærðfræði notast við alla stærðfræðilega þekkingu til þess að leysa raunveruleg verkefni.

Stærðfræðileg eðlisfræði — Aflfræði — Vökvaaflfræði — Töluleg greining — Bestun — Líkindafræði — Tölfræði — Hagfræði — Leikjafræði — Stærðfræðileg líffræði — Dulmálsfræði — Upplýsingafræði

[breyta] Mikilvægar setningar

Setningar sem hafa heillað stærðfræðinga og aðra.

Sjá listi yfir stærðfræðilegar setningar.

Pýþagórasarreglan – Síðasta setning Fermats – Ófullkomnleikasetning Gödels – Undirstöðusetning reikningslistarinnar – Undirstöðusetning algebrunar – Undirstöðusetning örsmæðareikningsins – Hornalínuaðferð Cantors – Fjögurralitasetning – Lemma Zorns – Jafna Eulers – Ritgerð Church & Turing – Flokkunarsetningar flata – Gauss-Bonnet setningin – Ferningsgagnkvæmni – Riemann-Roch setningin.

[breyta] Mikilvægar tilgátur

Hér eru nokkur óleyst vandamál í stærðfræðinni.

Sjá listi yfir stærðfræðilegar tilgátur.

Tilgáta Goldbachs – Frumtalnatvíburatilgátan – Tilgáta Riemanns – Tilgáta Poincaré – Tilgáta Collatz – P=NP? – opin Hilbert vandamál.

[breyta] Grundvöllur og aðferðir

Aðferðir við að skilja eðli stærðfræðinnar hafa áhrif á það hvernig stærðfræðingar leggja stund á stærðfræði.

Heimspeki stærðfræðinnar – Stærðfræðilegt innsæi – Grundvöllur stærðfræðinnar – Mengjafræði – Táknræn rökfræði – Líkanafræði – Ríkjafræði – Rökfræði – Tafla stærðfræðilegra tákna — Listi yfir samheiti í stærðfræði

[breyta] Saga og heimur stærðfræðinganna

Saga stærðfræðinnar – Ágrip af sögu stærðfræðinnar – Stærðfræðingar – Fields orðan – Abel verðlaunin – Árþúsundsverðlaunin (Clay stærðfræðiverðlaunin) – Alþjóðasamband stærðfræðinga – Stærðfræðikeppnir