Teorema di approssimazione di Weierstrass

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In analisi matematica, il teorema di approssimazione di Weierstrass è un risultato che afferma che ogni funzione reale continua definita in un intervallo chiuso e limitato può essere approssimata a piacere con un polinomio di grado opportuno.

Questo è stato dimostrato da Karl Weierstrass nel 1885. Il teorema ha importanti risvolti sia teorici che pratici. Marshall Stone lo ha generalizzato nel 1937, allargando il dominio ad un certo tipo di spazio topologico e non limitandosi ai polinomi come funzioni approssimanti. Il risultato generale è noto come teorema di Stone-Weierstrass.

Indice

1 Enunciato
2 Dimostrazione
3 Caso complesso
4 Definizione del teorema tramite i concetti degli spazi normati
5 Conseguenze
- 5.1 Risvolti teorici
- 5.2 Risvolti pratici
6 Il teorema di Stone-Weierstrass
7 Ulteriori generalizzazioni
- 7.1 Teorema di Stone-Weierstrass per i reticoli
- 7.2 Teorema di Bishop
8 Voci correlate
9 Bibliografia

[modifica] Enunciato

L'enunciato del teorema è il seguente.

Data una funzione continua

$f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$

definita sull'intervallo $[a, b]$ , esiste una successione di polinomi

$\left \{ p_k(x)\right \}$

tale che

$\lim_{k \to +\infty}p_k(x)=f(x).$

Il limite è da intendersi rispetto alla convergenza uniforme.

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Osservazioni preliminari

Con la trasformazione biiettiva

$x\longmapsto \frac{x-a}{b-a}$

$f(x)\longmapsto f(x)-f(a)-\frac{x-a}{b-a}(f(b)-f(a))$

Il teorema può essere dimostrato, senza perdita di generalità, solo per funzioni che verificano la condizione:

$\ [a,b]=[0,1] \ , \ f(0)=f(1)=0$ .

Estendendo f(x) su $\mathbb{R}$ ponendola uguale a zero al di fuori di [0,1] si ottiene una funzione uniformemente continua su tutto $\mathbb{R}$ (la funzione di partenza è uniformemente continua su [0,1] per il teorema di Heine-Cantor).

[modifica] Definizione e proprietà dei polinomi

Per ogni k numero naturale, i polinomi

$\textstyle q_k: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \quad q_k(x)= \begin{cases}(k+1)(1-x)^k & x \in [0,1] \\0 & x \in \mathbb{R} \setminus [0,1]\end{cases}$

sono non negativi e monotoni decrescenti in [0,1]. La funzione integrale

$\ I_k(z) = \int_0^zq_k(x)dx$

è monotona crescente in [0,1]. Vale la proprietà di normalizzazione:

$\forall k : \int_\mathbb{R}q_k(x)dx = \int_0^1q_k(x)dx =1$ .

I polinomi che approssimano f(x) sono le funzioni

$\ p_k(x)=\int_\mathbb{R}f(x+t)q_k(t)dt =\int_0^1 f(x+t)q_k(t)dt$ .

Si può dimostrare che si tratta effettivamente di polinomi operando il cambio di variabile s = t + x all'interno del primo integrale ed utilizzando il teorema binomiale nell'intervallo [0,1] per calcolare i coefficienti.

[modifica] Parte principale

Considerando la proprietà di normalizzazione e la disuguaglianza integrale abbiamo che, per ogni x :

$\ |p_k(x) - f(x)| = |\int_0^1 f(x+t)q_k(t)dt \ - f(x) \cdot 1| = |\int_0^1 f(x+t)q_k(t)dt \ - \ f(x)\int_0^1 q_k(t)dt| \le$

$\ \le \int_0^1|f(x+t)-f(x)|q_k(t)dt = \diamondsuit$

Dalla definizione di continuità uniforme di f(x), fissato ε /2 > 0,

$\ \exists \ \delta \in (0,1) \ : \ |t| < \delta \Rightarrow |f(x+t)- f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$ .

In base al teorema di Weierstrass esiste il massimo

$M=\max\left\{\left|f(x)\right| \ : \ x \in [0,1]\right\}$ .

Fatte queste considerazioni e tenendo presente la disuguaglianza triangolare, la $\diamondsuit$ diventa:

$\ \diamondsuit = \int_0^\delta|f(x+t)-f(x)|q_k(t)dt + \int_\delta^1|f(x+t)-f(x)|q_k(t)dt \le$

$\ \le \frac{\varepsilon}{2}\int_0^\delta q_k(t)dt + \int_\delta^1[|f(x+t)|+|f(x)|]q_k(t)dt \le \frac{\varepsilon}{2} + 2M\int_\delta^1q_k(t)dt \le$

$\ \le \frac{\varepsilon}{2} + 2M(k+1)\int_\delta^1(1-\delta)^kdt = \frac{\varepsilon}{2} + 2M(k+1)(1-\delta)^{k+1}$

Dato che 0 < δ < 1 , il secondo termine nel secondo membro dell'ultima equazione tende a zero per k che tende ad infinito , perciò è minore di ε /2 per k sufficientemente grande. In definitiva:

$\ \forall \varepsilon >0 \ \exists k \ : \ |p_k(x) - f(x)| < \varepsilon$ ,

cioè

$\lim_{k \to +\infty}p_k(x)=f(x)$ .

[modifica] Caso complesso

Il teorema si può estendere a funzioni a valori complessi

$f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{C}$

continue. La dimostrazione è analoga al caso reale, tenendo presente, però, che gli integrali non sono quelli ordinari ma sui cammini e che al posto del valore assoluto nelle formule abbiamo la funzione modulo.

[modifica] Definizione del teorema tramite i concetti degli spazi normati

Usando la terminologia degli spazi normati, il teorema afferma che, con la norma uniforme

$\textstyle \|f\|_\infty=\max\left\{\,\left|f(x)\right|:x\in [a,b]\right\}$ ,

lo spazio funzionale $\ \mathcal{P}([a,b])$ dei polinomi sull'intervallo [a,b] è denso nello spazio $\ \mathcal{C}^0([a,b])$ delle funzioni continue su tale intervallo.

Nella dimostrazione proposta abbiamo che la disuguaglianza

$\textstyle |p_k(x) - f(x)| < \varepsilon$

vale per qualsiasi x, quindi in particolare vale per

$\textstyle \max\left\{\,\left|p_k(x) - f(x)\right|:x\in [0,1]\right\}=\|p_k(x) - f(x)\|_\infty$ .

Perciò

$\ \lim_{k \to \infty}\|p_k(x) - f(x)\|_\infty = 0$ .

[modifica] Conseguenze

[modifica] Risvolti teorici

Una prima conseguenza è che lo spazio $\textstyle \mathcal{C}^0([a,b])$ è separabile perché $\textstyle \mathcal{P}([a,b])$ stesso è separabile, dato che contiene l'insieme denso e numerabile dei polinomi a coefficienti razionali

$\ M = \left \{ \sum_{i=0}^n q_ix^i : q_i \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}\right \}$ .

Un altra conseguenza è che è separabile qualsiasi insieme $\ X$ in cui $\textstyle \mathcal{C}^0([a,b])$ è denso. Tra i tanti esempi di insiemi che verificano questa condizione, si può citare lo spazio L¹ delle funzioni a modulo integrabile secondo Lebesgue in [a,b].

[modifica] Risvolti pratici

Nella maggior parte dei problemi pratici in cui bisogna valutare una funzione sconosciuta, si sa che la funzione in questione è continua (o lo si ipotizza). Il teorema ci assicura, quindi, che possiamo sempre costruire un algoritmo basato sull'interpolazione polinomiale per trovare una soluzione approssimata della funzione incognita con un grado di precisione arbitrario.

[modifica] Il teorema di Stone-Weierstrass

Sia $\ K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto e $\ C(K,\mathbb{C})$ l'algebra delle funzioni continue a valori complessi ivi definite, con la topologia generata dalla norma uniforme. Questa è una una C*-algebra dove lo *-operatore è rappresentato dal coniugio dei numeri complessi.

Sia $\ B \subseteq C(K,\mathbb{C})$ . Se $\ B$ è una sottoalgebra involutiva di $\ C(K,\mathbb{C})$ (cioè se $\ B$ è un sottospazio chiuso rispetto al prodotto e al coniugio in $\ \mathbb{C}$ ) che separa i punti di $\ K$ , cioè se vale la condizione

$\ \forall x,y \in K \ \exists f \in B \ : \ x \ne y \Rightarrow f(x) \ne f(y)$ ,

allora la *-algebra generata dall'unità di $\ B$ è densa in $\ C(K,\mathbb{C})$ .

La *-algebra in questione è un insieme $\ X$ che contiene la funzione costante $\ 1$ e che, se $\ f \in X$ , contiene qualsiasi altra funzione ottenuta partendo da $\ f$ e applicando un numero finito di volte le operazioni di addizione, moltiplicazione, coniugazione complessa o moltiplicazione per un numero complesso.

Il caso reale del teorema ( $\ B \subseteq C(K,\mathbb{R})$ ) si ottiene come caso particolare di quello complesso, perché se una successione di funzioni complesse converge uniformemente ad $\ f$ allora la successione delle parti reali delle stesse funzioni converge uniformemente alla parte reale di $\ f$ .

[modifica] Ulteriori generalizzazioni

Esistono due ulteriori generalizzazioni del teorema.

[modifica] Teorema di Stone-Weierstrass per i reticoli

La prima è la versione per reticoli del teorema di Stone-Weierstass.

Sia $\ K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto costituito da almeno due punti e sia $\ R$ un reticolo contenuto in $\ C(K,\mathbb{R})$ che verifica la condizione

$\ \forall x,y \in K \ \forall a,b \in \mathbb{R} \ \exists f \in R \ : f(x)=a \wedge f(y)=b$ .

Allora $\ R$ è denso in $\ C(K,\mathbb{R})$ .

[modifica] Teorema di Bishop

La seconda è un teorema dovuto a Errett Bishop.

Sia $\ K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto, $\ A$ una sottoalgebra chiusa dello spazio di Banach $\ C(K,\mathbb{C})$ e $\ f$ una funzione appartenente a $\ C(K,\mathbb{C})$ ; $\ f_{/W}$ indica una restrizione di $\ f$ su un sottoinsieme $\ W\subseteq K$ , mentre $\ A_{/W}$ indica lo spazio delle restrizioni su $\ W$ di funzioni appartenenti ad $\ A$ .
Sia $\ R \subset C(K,\mathbb{C})$ il sottoinsieme delle funzioni costanti reali. Consideriamo l'insieme