Spazio di Hausdorff
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In topologia, uno spazio di Hausdorff (chiamato così in onore del matematico tedesco Felix Hausdorff, 1868-1942) o spazio separato è uno spazio topologico in cui per due punti qualsiasi si possano sempre trovare degli intorni disgiunti.
La maggior parte degli spazi considerati in analisi matematica sono spazi di Hausdorff, tanto che Felix Hausdorff incluse l'assioma di separazione nella sua definizione originaria di spazio topologico (1914). Più recentemente però si è mostrato utile considerare anche spazi non separati.
[modifica] Definizione
Uno spazio di Hausdorff (o separato o T2) è uno spazio topologico che soddisfa il seguente assioma di separazione:
Per ogni coppia di punti distinti x e y in X esistono degli intorni U di x e V di y disgiunti (U ∩ V = ∅).
[modifica] Esempi
I numeri reali, con la ordinaria topologia in cui gli insiemi aperti sono esattamente tutte le unioni arbitrarie di intervalli aperti, sono uno spazio di Hausdorff: Dati due numeri reali distinti x e y, x≠y, sia d = |x - y| / 2 la metà della loro distanza; allora gli intervalli U = ]x - d, x + d[ e V = ]y - d, y + d[ sono intorni disgiunti di x e y.
Un ragionamento simile mostra che ogni spazio metrico, quindi in particolare anche ogni spazio euclideo, è uno spazio di Hausdorff: dati due punti, si considerano le sfere aperte attorno a questi punti con raggio uguale alla metà della loro distanza; la disuguaglianza triangolare assicura che le due sfere sono disgiunte.
Non tutti gli spazi topologici sono di Hausdorff: un controesempio semplice è dato da uno spazio di almeno due punti X dotato della topologia banale {∅, X}. Un controesempio più interessante è la topologia di Zariski in geometria algebrica.
[modifica] Voci correlate
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