Hausdorff

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde wordt een topologische ruimte X Hausdorff genoemd als voor elk tweetal verschillende punten er disjuncte open omgevingen O_x en O_y van x respectievelijk y bestaan. Andere termen voor een dergelijke ruimte zijn Hausdorffs, gescheiden of T₂, terwijl men ook wel zegt dat een dergelijke ruimte de Hausdorff-eigenschap heeft. De term is genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff. De Hausdorff-eigenschap is een bijzonder geval van een scheidingsaxioma.

Belangrijke eigenschappen van Hausdorffruimten zijn:

• Elke compacte deelverzameling van X is gesloten.
• Een Hausdorffruimte X is T₁, dat wil zeggen dat voor elke de deelverzameling bestaande uit het punt x gesloten is.
• X is Hausdorff dan en slechts dan als de deelverzameling gesloten is in het Cartesisch product van X met zichzelf, uitgerust met de producttopologie.

De meeste topologische ruimten die in de analyse gebruikt worden zijn Hausdorff. In het algemeen is elke metrische ruimte Hausdorff. Toch zijn er ook topologische ruimtes die niet Hausdorff zijn, zoals de Sierpinksi ruimte en bijna alle ruimtes met de Zariskitopologie, die in de algebraïsche meetkunde een belangrijke rol spelen.