Continuità uniforme

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In analisi matematica, una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua. Intuitivamente una funzione $f$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto $x$ comporta una piccola variazione dell'immagine $f (x)$ (quindi $f$ è continua), e la misura della variazione di $f (x)$ dipende solo dalla misura della variazione di $x$ , ma non dal punto $x$ stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice che è una proprietà locale. Infatti quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio. Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Indice

1 Definizione
- 1.1 Funzione reale di variabile reale
- 1.2 Funzione di spazi metrici
2 Esempi
3 Proprietà

[modifica] Definizione

[modifica] Funzione reale di variabile reale

Nel caso specifico di una funzione $f:I \to \mathbb{R}$ , dove $I \subseteq \mathbb{R}$ è un intervallo, si dice che $f$ è uniformemente continua se per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un numero reale $δ > 0$ , così che per ogni $x_1, x_2 \in I$ con $| x 1 - x 2 | < δ$ (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha

| f (x 1) - f (x 2) | < ε

Diversamente dalla continuità semplice la distanza $δ$ dipende quindi unicamente dalla distanza $ε$ e non dal punto $x 1$ o $x 2$ .

[modifica] Funzione di spazi metrici

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: Dati due spazi metrici $(X, d X)$ e $(Y, d Y)$ , si dice che una funzione $f:X \to Y$ è uniformemente continua se

$\forall \epsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1,x_2) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \epsilon$ .

[modifica] Esempi

Sono funzioni continue ma non uniformemente continue:

La funzione

$f:(0,1) \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{1}{x}$

infatti per ogni $δ > 0$ si possono trovare $x_1, x_2 \in (0,\delta)$ così che $| f (x 1) - f (x 2) |$ diventi addirittura arbitrariamente grande.

La funzione $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

La funzione limitata

$f:(0,1) \to \mathbb{R},\ x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

perché in ogni intervallo $I : = (0,δ)$ si possono trovare $x_1, x_2 \in I$ con $| f (x 1) - f (x 2) | = 2$ .

Sono funzioni uniformemente continue:

La funzione costante
La funzione identità
Le funzioni lineari
Le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (quindi le funzioni seno e coseno)

[modifica] Proprietà

Generalmente non ogni funzione continua è uniformemente continua, però nel caso specifico di un dominio compatto (per esempio un intervallo chiuso finito), il teorema di Heine-Cantor afferma che la continuità equivale alla continuità uniforme.

Ogni funzione lipschitziana $f$ è uniformemente continua: dato $ε > 0$ , si può scegliere $δ: = ε / K$ , dove $K > 0$ è una costante di Lipschitz di $f$ .

L'immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

Dato un intervallo illimitato $A=[a,+\infty)$ , una funzione continua avente come dominio A è uniformemente continua se ha un asintoto.