Gleichmäßige Stetigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Sonstiges
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Sei $D$ eine Teilmenge aus $\R$ , kurz $D\subseteq\R$ .

Eine Abbildung $f:D\rightarrow \R$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

$\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ .

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von $D$ gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass $δ$ nur von $\varepsilon$ und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle $x 0$ abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite $\varepsilon$ kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite $δ$ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten $\varepsilon;\delta$ geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf $[0, \infty)$ ).

[Bearbeiten] Beispiele

Betrachte die Funktion

$f:\R\mapsto\R^+$ mit

f (x) = x 2

(s. Abbildung).

Diese ist stetig, aber nicht nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man zwei Punkte gleichen Abstandes $δ$ wählt, desto größer wird der Abstand $ε$ der beiden Funktionswerte. Die Definition besagt aber, dass $ε$ nur von $δ$ , also dem Abstand zweier Punkte abhängen soll, nicht aber von den Punkten selbst. Wählt man zwei Punkte sehr weit rechts mit Abstand $δ$ , dann soll der Abstand der beiden Funktionswerte immer noch kleiner dem gewählten $ε$ sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von f auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Der Beweis lässt sich mit dem Satz von Heine führen.

Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion

$f:\R^+\mapsto\R^+$ mit $f(x) = \sqrt{x}$

die auch gleichmäßig stetig ist.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung: metrische Räume

Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:

Seien $(X, d x),(Y, d y)$ zwei metrische Räume. Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

$\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in X:d_x(x, x_0)<\delta\Rightarrow d_y(f(x), f(x_0))<\varepsilon$ .

[Bearbeiten] Verallgemeinerung: uniforme Räume

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion $f: X \to Y$ zwischen zwei uniformen Räumen $(X, \mathcal U_X)$ und $(Y, \mathcal U_Y)$ gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also

$(f \times f)^{-1}(\mathcal U_Y) \subset \mathcal U_X.$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Es gilt: Ist $f$ gleichmäßig stetig auf einer Menge $M$ , dann ist $f$ auch stetig in jedem Punkt $x_0 \in M$ und sogar stetig fortsetzbar auf den Abschluss $\overline{M}$ . Umgekehrt gibt es jedoch stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind.

Ein einfaches Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger Stetigkeit ist der Satz von Heine: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.

Ist $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge im Raum $M$ und ist $f : M \to N$ gleichmäßig stetig, so ist auch $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $N$ . Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel $M = (0,1), f(x) = \frac1x$ und $x_n = \frac1n$ zeigt.

Im $\mathbb{R}^n$ : Polstellen kann es auf einer gleichmäßig stetigen Funktion nicht geben, da bei gegen unendlich strebender Steigung der Abstand der Funktionwerte beliebig groß wird, $δ$ also kein reeller Wert sein kann.