一様連続

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大雑把に言って、数学において、関数 f(x) が一様連続（いちようれんぞく、英：uniformly continuous）であるとは、f が定義域全体で連続、つまり引数 x の変化が小さいと関数値 f(x) の変化も小さく、しかも、f(x) の変化の度合いが x の変化の度合いにのみ依存し、x の値自身にはよらないことをいう。

関数の連続性自体は、関数の局所的な特性である。つまり、関数 f が連続か否かは、ある特定の点について言えることである。ある関数がある領域で連続である、と言うとき、それは、領域の各点で連続であることを意味するに過ぎない。これに対し、一様連続性は、関数の大域的な特性である。一様連続な関数は必ず連続であるが、逆は必ずしも成り立たない。一方、有界な閉区間で連続な関数は、その区間上で一様連続である。

[編集] 定義

一様空間（uniform space） (X,U)、(X′,U′) に関し、写像 f : X → X′ が一様連続であるとは、任意の V′∈ U′ に対して、ある V ∈ U が存在し、(x,y) ∈ V ⇒ (f(x),f(y)) ∈ V′ が成り立つことをいう。この条件は、

V′∈ U′ ⇒ {(x,y) ∈ X × Y | (f(x),f(y)) ∈ V′} ∈ V

と言い換えることもできる。

A ⊆ X の上で f が一様連続であるとは、f の A への制限 f|_A が相対一様性によって一様連続になることである。

一様空間は距離空間を一般化した概念であるし、また、初等解析等ではユークリッド空間上の関数の一様連続性を議論することが多いので、定義を距離空間の場合（ε-δ 論法）に言い換えておくことは有用であろう。 (X, d) と (X′, d′) が距離空間のとき、f : X → X′ が一様連続であるとは、任意の正実数 ε ＞ 0 に対し、ある δ ＞ 0 が存在して、d(x,y) ＜ δ を満たす任意の x, y ∈ X に対し、d′(f(x),f(y)) ＜ ε が成り立つことをいう。

[編集] 性質

f : X → X′ が一様連続であれば、f は X と X′ の一様位相に関して連続である。この逆は一般に成り立たない。例えば、二乗する演算 R ∋ x → x² ∈ (0,∞) や逆数を取る演算 (0,∞) ∋ x → 1/x ∈ (0,∞) は、夫々実数全体または正実数全体で連続であるが、一様連続ではない。

f : X → X′、g : X′ → X ″ が共に一様連続ならば、その合成写像 gof : X → X ″ も一様連続である。

コンパクト一様空間で連続な関数は、一様連続である。

d を、一様空間 (X, U) の準距離とすると、d が積一様系に関し X × X において一様連続となるためには、

r ＞ 0 ⇒ {(x,y) ∈ X × X | d(x,y)) ＜ r} ∈ V

が必要十分である。

[編集] 距離空間の場合

定義
$(X,d\,),\,(Y,d\,)$ を距離空間とするとき、
$\;\;f:X\!\rightarrow\!Y\;$ が一様連続 $\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}$ $\forall \varepsilon>0 \,,\;\exists \delta>0\,,\; \forall p,q\in X\,,\; d(p,q)<\delta\;\Rightarrow\; d(f(p),f(q))<\varepsilon\;$

定理
距離空間 $(X,d\,)$ から距離空間 $(Y,d\,)$ への連続写像は、もし $(X,d\,)$ がコンパクトならば一様連続である。

〔証明〕 $f:X\!\rightarrow\!Y$ が連続のとき、 $p,q\in X$ に対して、 $\tilde{f}(p,q)=d(f(p),f(q))\;$ とおき、また $\varepsilon>0$ に対して $H_{\varepsilon}=\{\,(p,q)\in X^2\;|\;\tilde{f}(p,q)\ge\varepsilon\,\}\;$ とおく。このとき $\tilde{f}$ は $X^2\!$ 上の実数値連続関数であり、したがって $H_{\varepsilon}$ は、コンパクト空間 $X^2\!$ の閉集合であるから、コンパクトである。
このことから、 $\,X\;$ 上の距離 $\,d\,$ を $X^2\!$ 上の実数値連続関数と考えるとき、 $\,d\,$ は $H_{\varepsilon}$ で正の最小値をもつ。すなわち $\delta=\min\{\,d(p,q)\;|\;(p,q)\in H_{\varepsilon}\,\}\;$ とおけば $\!\delta>0$ であり、このとき任意の $\!p,q\in X$ に対して、もし $\!d(p,q)<\delta\!$ であれば $(p,q)\not\in H_{\varepsilon}\;\;$ より $d(f(p),f(q))=\tilde{f}(p,q)<\varepsilon$ となる。