Continuidade uniforme

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Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicação sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

[editar] Definição

Sejam $X\,$ e $Y\,$ espaços métricos e $f:X\to Y\,$ uma função. $f\,$ é dita uniformemente contínua se para todo $\varepsilon>0\,$ existe um $\delta>0\,$ tal que:

$d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon,~~\forall x,y\in X\,$

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in X, (d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon)\,$

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

$\forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in X, (d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon)\,$

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um $\varepsilon\,$ para cada $x\,$ , enquanto que a continuidade uniforme exige um $\varepsilon\,$ global, para todo $x\,$ .