Funzione lineare

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Esempio di funzioni lineari

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale x a valori reali della forma

$f(x) = mx+c\;$

con m e c costanti reali.

Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione

$y=mx+c\;$

la costante m viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, mentre c è chiamata intercetta con l'asse delle y. In effetti la retta interseca l'asse Oy nel punto (0,c); la retta inoltre interseca l'asse Ox nel punto (-c / m), come si ricava imponendo y = 0 e risolvendo la equazione 0 = m x + c; quando però m = 0 la retta è orizzontale e si può dire che incontra l'asse Ox solo all'infinito.

[modifica] Esempi

f(x)= 2x + 1 (m=2, c=1)
f(x) = x (m=1, c=0)
f(x)= 9
f(x)= -3 x + 4

Si osserva che facendo crescere m da 0 in su la retta da orizzontale si fa crescente con pendenza sempre più accentuata, mentre facendo assumere ad m valori sempre più negativi la retta diventa sempre marcatamente in discesa. Facendo variare la c la retta viene traslata verso l'alto o verso il basso.

[modifica] Generalizzazioni

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali x e y a valori reali si intende una funzione della forma

f(x,y) = m x + n y + c ;

essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale Oz nel punto (0, 0, c), l'asse Ox in (-c/m, 0, 0), o all'infinito se m = 0, e l'asse Oy in (0, -c/n, 0), o all'infinito se n = 0.

[modifica] Relazione con la definizione di applicazione lineare

Dato che in considerazioni generali il termine funzione viene considerato sinonimo di applicazione e di trasformazione, le precedenti definizioni sono in disaccordo con la definizione di applicazione lineare, ovvero di trasformazione lineare, che viene data in generale e in particolare in algebra. In generale per applicazione lineare si intende una funzione che soddisfa le seguenti 2 proprietà:

Additività: f(x + y) = f(x) + f(y).
Omogeneità: f(αx) = αf(x) per ogni α.

Equivalentemente si può chiedere che sia

$f(a_1x_1+a_2x_2) \,=\, a_1 f(x_1) + a_2 f(x_2)$ .

In questa definizione x, y, x₁ e x₂ sono elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo K o anche elementi arbitrari di un modulo (struttura) su un anello commutativo R, mentre a, a₁ e a₂ sono elementi arbitrari di K ovvero di R; la funzione f a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come $\R, \mathbb{C}, \R^n, \mathbb{C}^n$ .

Ora per la funzione considerata inizialmente $f(x)\,=\,mx+c$ i due membri dell'uguaglianza sono

$m(a_1x_1+a_2x_2)+c ~~~\mbox{e}~~~ a_1(mx_1+c) + a_2(mx_2+c)$ ,

e questi sono uguali solo se c = 0.

Dunque il termine funzione lineare viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.