Teorema di Heine-Cantor
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In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema riguardante gli spazi metrici, usato soprattutto in analisi, che prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.
Il teorema afferma che
Siano 
e 
spazi metrici; 
una funzione continua su 
. Allora se è compatto 
è uniformemente continua
[modifica] Dimostrazione
Ragioniamo per assurdo.
Supponiamo che esista 
tale che per ogni 
esistano punti 
tali che
e 
Diamo a 
i valori 
e denotiamo con 
e 
i corrispondenti punti .
In questo modo si definiscono due successioni di punti 
e 
.
Poiché è compatto da si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto 
; sia essa 
.
Poiché 
per 
, si ha
per . quindi anche 
converge a 
Poiché per ogni 
si ha
e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue
incompatibile con l'ipotesi d'assurdo
[modifica] Conseguenze
In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.
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