Successione (matematica)

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In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.

A differenza di quanto avviene per gli insiemi, per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può comparire più volte. Tali caratteristiche sono le stesse che distinguono una n-upla ordinata da un insieme costituito da n elementi, per cui una successione può anche essere considerata l'estensione infinita di una n-upla ordinata.

Le successioni sono ampiamente usate nel calcolo differenziale, che fa largo uso del concetto di limite di una successione. Sono un ingrediente fondamentale della definizione stessa dei numeri reali e di tutta l'analisi matematica.

[modifica] Notazione

Poiché i termini di una successione sono infiniti, essi non possono mai essere scritti tutti in modo esplicito. Di conseguenza per rappresentare una successione ci si limita a scrivere alcuni termini seguiti da puntini di sospensione e dall'indicazione del termine generico, così:

$a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots$

Normalmente si rende necessario delimitare i termini di una successione, e lo si fa per mezzo di parentesi. Dal momento che nel caso finito la differenza fra una n-pla ordinata e un insieme viene evidenziata usando per la n-pla le parentesi tonde (o acute) e per l'insieme le parentesi graffe, anche nel caso infinito potrebbe essere utile usare le parentesi tonde (o acute) per delimitare una successione. Tale consuetudine tuttavia non si è ancora imposta, e seguendo la tradizione spesso si delimitare anche le successioni con le parentesi graffe, per cui si trovano entrambe le notazioni:

$\{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots\}$ oppure $(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots)$

le quali si possono rendere in modo più sintetico indicando il solo termine generico $a n$ e l'insieme in cui varia n: $\{a_n\}_{n \in \N}$ o $(a_n)_{n \in \N}$ .

Come si è detto non è possibile scrivere esplicitamente una successione per esteso, e ci si limita a scrivere i primi termini con l'indicazione del termine generico, oppure il solo termine generico nella forma $\{a_n\}_{n \in \N}$ o $(a_n)_{n \in \N}$ . D'altra parte il termine generico di una successione non può che essere indicato per mezzo di una espressione che dipende da n, oppure che dipende da alcuni termini precedenti della successione. Ad esempio la successione dei numeri pari si scrive così:

$0, 2, 4, \cdots, 2n, \cdots := (2n)_{n \in \N}$

mentre la successione i cui termini dal terzo in poi si ottengno sommando i due precedenti (detta successione di Fibonacci) si scrive così:

$0, 1, \cdots, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, \cdots$

In questo modo si ottengono tutte le informazioni necessarie a calcolare anche tutti gli altri termini della successione. Infatti:

se l' n-mo termine $a n$ è espresso in dipendenza di n, quella dipendenza definisce direttamente una funzione che al generico intero n associa il termine n-mo;
se invece l' n-mo termine $a n$ è espresso in dipendenza di alcuni termini precendenti della successione, e se sono dati i valori di un numero sufficiente di termini iniziali, allora la funzione che associa $a n$ a n resta definita implicitamente in modo ricorsivo.

Comunque sia, per definire in modo esauriente una successione occorre poter determinare $a n$ per ogni n, sicché in definitiva bisogna disporre - in qualche modo - di tutte le informazioni necessarie a definire in modo univoco una funzione f tale che $a n = f (n)$ . E poiché ad ogni successione di termini resta associata una e una sola funzione siffatta, si può anche identificare la successione con la funzione stessa. Questo è effettivamente ciò che si fa nella definizione formale, per cui il termine 'successione' può riferirsi sia alla successione dei termini sia alla funzione che genera la successione dei termini.

[modifica] Definizione formale

Formalmente, una successione di elementi di un dato insieme $A$ è un'applicazione dall'insieme N dei numeri naturali in $A$ :

$f:\mathbb{N}\to A$

L'elemento $a n$ della successione è quindi l'immagine

a n = f (n)

del numero $n$ secondo la funzione $f$ . L'insieme $A$ può essere ad esempio l'insieme dei numeri reali.

A seconda di come sia definito il codominio A, le successioni possono essere costituite da semplici numeri reali o complessi, le successioni numeriche; ma anche da funzioni e in questo caso si parla di successioni di successione di funzioni, oppure ancora da altri oggetti matematici, come matrici (le matrici identità di dimensione $n \times n$ ), figure geometriche (poligoni regolari, piramidi regolari) o di strutture (gruppi ciclici di ordini successivi, spazi vettoriali Rⁿ), ecc...

[modifica] Esempi

$S=N \quad \phi(n)=n^2 \quad \{\phi(n)\}_n=\{0,1,4,9,16,\ldots \}$
$S=C \quad \phi(n)=i^n \quad \{\phi(n)\}_n=\{1,i,-1,-i,\ldots \}$
$S=R \quad \phi(n)=\frac{1}{n-1}\quad \{\phi(n)\}_{n\geq 2 }=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots \}$
$S=R \quad \phi_g(n)=q^n \quad \{\phi_g(n)\}_n=\{1,q,q^2,\ldots \}$
$S=R \quad \phi(n)=\sum_{i=0}^n \phi_g(n) \quad \{\phi(n)\}=\{1,1+q,1+q+q^2,\ldots \}$

l'ultima è la successione delle somme parziali, in particolare di una somma parziale geometrica.

[modifica] Successioni e limiti

[modifica] Limite di una successione

Per approfondire, vedi la voce Limite di una successione.

Una successione $(a_n)_{n\in {\mathbb N}}$ si dice

convergente se $\exists l \in \mathbb R\, \lim_{n\to\infty} a_n= l$ ;
divergente se $\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty$ ;
irregolare o indeterminata se $\not\exists \lim a_n$ .

[modifica] Esempi

L'esempio più semplice di successione convergente è una successione costante, cioè una successione in cui a_n=k per ogni n; un altro esempio è la successione ¹/_n, che tende a 0.

Una semplice successione divergente è a_n=n, o più in generale qualsiasi successione i cui termini siano i valori di un polinomio P(x), ovvero in cui a_n=P(n).

Una successione indeterminata "classica" è la successione a_n=(-1)ⁿ: essa "salta" continuamente da -1 a +1 e viceversa, senza stabilizzarsi verso nessun valore. Altri esempi più sofisticati sono la successione a_n=sen n, come molte successioni derivanti da funzioni aritmetiche, come $a n = σ(n)$ , dove si è usata la funzione sigma.

[modifica] Definizioni alternative di limiti

Esistono anche definizioni alternative di limiti per le successioni indeterminate (es. convergenza in media).

[modifica] Proprietà delle successioni

[modifica] Successioni limitate

Una successione a valori reali ${a_n} \quad$ si dirà:

limitata inferiormente se esiste un numero m tale che $a_n \geq m, \ \forall n \in \N$
limitata superiormente se esiste un numero M tale che $a_n \leq M, \ \forall n \in \N$
limitata se esiste un numero M tale che $|a_n| \leq M, \ \forall n \in \N$

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi un una palla.

[modifica] Successioni monotone

Una successione $\{a_n\}_n \quad$ si dice:

monotona strettamente crescente se $a_n < a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
monotona crescente se $a_n \leq a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
monotona strettamente decrescente se $a_n > a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
monotona decrescente se $a_n \geq a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
costante se è contemporaneamente crescente e decrescente, ovvero $a_n = a, \ \forall n \in \N, \ a \in S$

[modifica] Teorema sulle successioni monotòne

Ogni successione monotòna è regolare, cioè ammette limite. In particolare, ogni successione monotòna e limitata è convergente, cioè ammette limite finito.

Dimostrazione - Sia $a_n \quad$ una successione crescente e limitata, con

$l = \sup_n \{a_n\}$ . Per le note proprietà dell'estremo superiore, fissato un $\epsilon > 0 \quad$ esiste un indice $v\quad$ tale che $l-\epsilon < a_v \quad$ . Ricordando che la crescenza della successione impone

$a_n \geqslant a_v \qquad\ \forall \, n > v$ , risulta

$l-\epsilon < a_v \leqslant a_n \leqslant l < l+\epsilon$ .

Cioè, per definizione di limite di una successione, risulta:

$\lim_{n \to +\infty}a_n = l$

[modifica] Esempi

Per esempio la successione ${n 2} n$ è monotona strettamente crescente, la successione $\left( \frac{1}{n}\right)_{n\geq 1}$ è monotona strettamente decrescente (si premette che la definizione di monotona è quella di essere strettamente crescente o decrescente).

[modifica] Problemi teorici e filosofici

In matematica il concetto di successione è uno di quei concetti fondamentali che, come anche quello di insieme e di funzione, sembrano facilmente acquisibili a livello intuitivo, e allo stesso tempo dimostrano di essere difficilmente riconducibili ad altri concetti, sicché quando non li voglia cosiderare noti e acquisiti intuitivamente ci si trova a dover affrontare complicati e profondi problemi teorici.

Non è difficile illustrare intuitivamente il concetto di successione. Per farlo è necessario prendere le mosse proprio dal linguaggio comune, nel quale il termine successione o quello equivalente di sequenza vengono utilizzati per riferirsi ad un elenco ordinato di un certo insieme di oggetti, cioè un elenco nel quale sia possibile distinguere un "primo" oggetto, da un "secondo", da un "terzo", eccetera.

Dal momento che si sta facendo riferimento al linguaggio comune, questa successione (o sequenza), intesa come elenco ordinato di oggetti, in generale sarà concepita come costituita da un numero finito di oggetti, sicché a livello intuitivo si partirà dalla acquisizione del concetto di successione finita. Solo in un secondo momento - preso atto che una successione può essere prolungata a piacere aggiungendo altri oggetti a quelli già disposti in ordine - si perverrà al concetto di successione infinita, che è quella presa in considerazione dalla teoria matematica.

Si osservi che in un elenco ordinato gli oggetti possono essere ripetuti. Ad esempio se si lancia un dado e si scrive la successione dei numeri che escono, si otterrà qualcosa del genere:

(3, 1, 1, 2, 5, 6, 6, 3, 1, 4 , 2 ...)

nella quale si ripetono indefinitamente solo i numeri fra 1 e 6.

Questo semplice esempio mostra chiaramente la differenza fra il concetto di successione e quello di insieme. Infatti il concetto di insieme non contempla in alcun modo la nozione di ordine né la presenza di elementi ripetuti (l'insieme costituito da Romeo e Giulietta è lo stesso insieme costituito da Giulietta e Romeo, e l'insieme costituito da Romeo e Romeo è il solo Romeo), per cui l'insieme dei risultati ottenuti lanciando il dado è composto di soli sei elementi

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

e tale rimane anche quando si continui a lanciare il dado indefinitamente, prolungando indefinitamente la successione dei numeri usciti.

In matematica la sequenza ordinata di n oggetti viene anche definita n-pla ordinata (coppia ordinata, tripla ordinata, eccetera), per cui quella che si è chiamata successione finita può anche essere chiamata n-pla ordinata. Quanto alla successione infinita, si dovrebbe parlare di "infinit-upla ordinata", ma questo appare piuttosto un abuso del linguaggio, sicché il termine "n-pla ordinata" viene riservato al caso finito, mentre di "successione" si parla solitamente nel caso infinito. Ma a prescindere dalla notazione, dovrebbe essere chiaro che il problema che si pone nel definire una successione non è altro che il "passaggio al limite" (per n che tende all'infinito) del problema che si pone nel definire una n-pla ordinata.

Se i concetti introdotti possono apparire chiari a livello intuitivo, e considerati acquisiti sulla scorta di pochi semplici esempi, la cosa si fa estremamente problematica quando si voglia esprimere tutto ciò in modo rigoroso. Qui si aprono due possibilità:

o si dichiara esplicitamente che il concetto di successione (come pure quello "finito" di n-pla ordinata) è un concetto primitivo, che non viene definito e che si assume noto a priori;
o si cerca di ricondurre questi concetti a qualche concetto considerato più fondamentale ed effettivamente primitivo, come potrebbe essere il concetto di insieme o di funzione.

Se si sceglie la prima possibilità in linea di principio non ci sarebbe nulla da dire o da spiegare sul concetto di "successione", e la costruizione di una teoria matematica lo dovrebbe nominare considerandolo già noto, in quanto acquisito o acquisibile al di fuori del dominio della matematica. Se invece si sceglie la seconda possibilità, allora bisogna appunto compiere l'impresa di ricondurre un concetto fondamentale a qualche altro concetto fondamentale.

Nel caso delle successioni si potrebbe prendere le mosse dal caso finito, definendo una n-pla ordinata a partire da qualche concetto fondamentale, come ad esempio quello di insieme, per poi "passare al limite" facendo diventare arbitrariamente grande il numero di oggetti disposti nella sequenza. Tuttavia anche quando si sapesse come ricondurre la definizione di una n-pla ordinata a quella di insieme poi sarebbe tutt'altro che scontata la possibilità di compiere quel "passaggio al limite".

Per questa ragione si preferisce procedere in modo diverso, osservando che se si ha una successione/sequenza ordinata di oggetti, allora - come si è visto - fra tutti quegli oggetti è possibile individuare un "primo", un "secondo", eccetera. Dunque dato un qualunque numero naturale n, la disposizione ordinata consente di dire qual è l'n-esimo termine della successione, il che è come dire che esiste una funzione che ad ogni numero naturale n associa un certo elemento dell'insieme di tutti gli oggetti che possono comparire (eventualmente ripetuti) nella successione. Dunque ad ogni successione $(a_1, a_2, a_3 \cdots)$ di elementi dell'insieme A resta associata in modo univoco la funzione che associa l'n-esimo termine $a n$ ad n:

$f : \N \rightarrow A$

$f : n \mapsto a_n = f(n)$

Il fatto che risulti sufficiente ricondurre ogni successione in A ad una funzione da $\N$ ad A, sembra una soluzione tutto sommato semplice e banale del problema di fornire una definizione rigorosa di successione, che era stato presentato come un problema profondo e difficile. Tuttavia questa soluzione apparentemente così semplice cela a sua volta non poche difficoltà concettuali.

La prima è che intuitivamente per successione si intende proprio la disposizione ordinata di elementi dell'insieme A:

$(a_1, a_2, a_3 \cdots)$

e non una funzione da $\N$ ad A. I termini $a n$ infatti sono i valori che la funzione f assume al variare di n, e appartengono al codominio di f. Per altro non si può nemmeno dire che la successione dei termini sia l'immagine dell'insieme di $\N$ tramite f, perché l'immagine di un insieme è un altro insieme, e come tale non contiene informazione sull'ordinamento dei suoi elementi, né contiene elementi ripetuti. Dunque se si associa una funzione f a una successione, poi non sappiamo come definire ciò che intuitivamente noi intendiamo come successione, ovvero la disposizione ordinata dei termini della serie.

A parte questo, il fatto di aver ricondotto il concetto fondamentale di successione a quello di funzione pone il problema se questo concetto a sua volta lo si voglia considerare un concetto primitivo o un concetto fondamentale da ricondurre a qualche altro concetto primitivo.

Solitamente in matematica il concetto di funzione viene ricondotto a quello di insieme affermando che una funzione da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times B$ . Ma il prodotto cartesiano $A \times B$ è, per definizione, l'insieme delle coppie ordinate costituite da un elemento di A e un elemento di B, sicché per ricondurre il concetto di funzione a quello di insieme dobbiamo comunque ricondurre la definizione di coppia ordinata a quella di insieme.

Ma a sua volta una coppia ordinata è proprio ciò che abbiamo definito una successione finita, per cui l'aver ricondotto il concetto di successione infinita a quello di funzione serve solo per ricondurre il problema dal caso infinito a quello finito, serve cioè per ricondurre la definizione di successione infinita a quella di successione finita, e anzi alla più piccola delle successioni finite, che è appunto la coppia ordinata. Volendo utilizzare la notazione introdotta fino a qui, possiamo dire che la successione:

$(a_1, a_2, a_3 \cdots)$

può essere ricondotta al seguente insieme:

$\{(1, a_1), (2, a_2), (3, a_3) \cdots \}$

il quale è sì un insieme, ma è ancora un insieme di coppie ordinate, cioè di successioni finite di due elementi.

Se si vuole portare fino in fondo il progetto di ricondurre tutti i concetti fondamentali al concetto primitivo di insieme, resta la necessità di definire una coppia ordinata a partire dal concetto di insieme.

[modifica] Generalizzazioni

In alcuni casi viene chiamata successione anche una funzione da un insieme numerabile $I$ . La numerabilità garantisce l'esistenza di una corrispondenza biunivoca $\psi, \psi:\mathbb{N}\to I$ con $\mathbb{N}$ , e quindi la funzione composta $φ(ψ)$ è una successione nel senso della definizione precedente.

Possono avere grande interesse anche le funzioni da $\mathbb{Z}$ (l'insieme dei numeri interi relativi) in A. Questi oggetti vengono indicati con notazioni del tipo

... , a_-m, ..., a_-1,a₀,a₁, ... a_n, ...

e vengono chiamati successioni bilatere. Si possono poi considerare successioni a 2 indici; queste si possono considerare matrici infinite; possono essere utili anche successioni a 3 o più indici e si può anche considerare l'insieme delle successioni con un numero intero qualsiasi di indici.