Metodi di integrazione

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Un metodo di integrazione è una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia di integrali. Per giungere alla soluzione è quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi, utilizzando in particolare le tavole di integrali; si ricordi che non tutti gli integrali sono risolvibili.

Indice

1 Integrali elementari
- 1.1 Esempi
2 Integrazione per scomposizione
3 Integrazione di funzioni razionali
- 3.1 Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore
- 3.2 Grado del numeratore minore del grado del denominatore
4 Integrazione per parti
5 Integrazione per sostituzione
6 Integrazione numerica e simbolica
7 Voci correlate

[modifica] Integrali elementari

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota. In tal caso, applicando semplicemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, si ha:

$\int \varphi (x) dx = \Phi (x) + c$

dove $Φ$ è una qualsiasi primitiva di $φ$ . Per gli integrali definiti invece si ha:

$\int_a^b \varphi (x) dx = \Phi (b) - \Phi (a).$

[modifica] Esempi

$\int (x-x^2) dx = {x^2 \over 2} - {x^3 \over 3} + c$ in quanto $D \left({x^2 \over 2} - {x^3 \over 3} \right)=x-x^2$
$\int_a^b \varphi'(x) \varphi(x)^{n-1} dx= {1 \over n} ( \varphi^n(b) - \varphi^n(a) )$ in quanto $D \left({1 \over n} \varphi^n(x) \right)= \varphi'(x) \varphi(x)^{n-1}$

[modifica] Integrazione per scomposizione

L'integrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare $\int f(x) dx$ è talvolta più semplice scrivere $f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + ... + f n (x)$ e sfruttare l'uguaglianza:

$\int f(x)dx = \int f_1(x) + \int f_2(x) + ... + \int f_n(x)$

[modifica] Integrazione di funzioni razionali

Gli integrali che rientrano nella forma:

$\int {{a_m x^m + a_{m-1} x^ {m-1}+ ... + a_1 x^1}\over{b_n x^n + b_{n-1} x^ {n-1}+ ... + b_1 x^1}} \, dx \qquad n,m \in \N$

sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.

Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

[modifica] Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore

Nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale al grado del denominatore si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente $Q (x)$ e il resto $R (x)$ :

f (x) = g (x) Q (x) + R (x)

dalla quale ricaviamo

${f(x)\over g(x)} = Q(X) +{R(x)\over g(x)}$

con $R (x)$ polinomio di grado inferiore al grado $n$ del divisore $g (x)$ . Perciò possiamo scrivere:

$\int {f(x)\over g(x)} dx = \int Q(x) dx + \int {R(x)\over g(x)} dx$

riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.

[modifica] Grado del numeratore minore del grado del denominatore

Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2° grado:

$\int {a_1 x + a_0 \over x^2 + b_1x + b_0} dx$

In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante $\delta = b_1^2 - 4 b_0$ (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio monico al denominatore):

[modifica] Denominatore con due radici reali distinte

Se $δ > 0$ allora $x 2 + b 1 x + b 0 = 0$ ammette due radici reali distinte $x 1$ e $x 2$ dunque $x 2 + b 1 x + b 0 = (x - x 1)(x - x 2)$ . Esistono dunque due costanti reali $A, B$ tali che:

${a_1 x + a_0 \over x^2 + b_1x + b_0} = {a_1 x + a_0 \over (x-x_1)(x-x_2)}= {A\over x-x_1} + {B\over x-x_2} \, \forall x \in \R \setminus \{x_1, x_2\}$

$A$ e $B$ si determinano in base alla condizione:

$A(x-x_2) + B(x-x_1) = a_1 x + a_0 \ \forall x$

Questa è equivalente al sistema lineare:

$\begin{bmatrix} A+B = a_1 \\ -Ax_2 -Bx_1 = a_0 \end{bmatrix}$

che ammette un'unica soluzione in $(A, B)$ poiché la matrice dei coefficienti $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -x_2 & -x_1 \end{bmatrix}$ ha determinante $-x1 + x2 \ne 0$ .

Determinate $A, B$ (risolvendo il sistema), si calcola:

$\int {{a_1 x + a_0}\over{x^2+b_1x + b_0}} dx = \int {{A}\over{x-x_1}} dx +$ $\int {{B}\over{x - x_2}} dx = A \log|x-x_1| + B \log|x-x_2| + C$

[modifica] Denominatore con una radice reale

Se $δ = 0$ allora $x 2 + b 1 x + b 0 = 0$ ammette due radici reale coincidenti $x 1 = x 2 = x 0$ , dunque $x 2 + b 1 x + b 0 = (x - x 0) 2$ ed esistono due costanti reali $A, B$ tali che:

${a_1x+a_0 \over x^2+b_1x+b_0} \equiv {a_1x+a_0 \over (x-x_0)^2} = {A \over x - x_0} + {B\over (x - x_0)^2} \ \forall x \in \R \setminus \{x_0\}$

$A, B$ si determinano in base alla condizione $a_1x + a_0 = A(x-x_0) + B \ \forall x \in \R$

questa è equivalente:

$\begin{Bmatrix} A = a_1 \\ -x_0 A + B = a_0 \end{Bmatrix}$

che ammette un'unica soluzione (A,B). $\forall (a_0,a_1) \in \R^2$ poiché il determinate della matrice dei coefficienti è :

$\det \begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ -x_0 & 1 \end{Bmatrix} = 1$

Determinate A,B si calcola:

$\int {{a_1 x + a_0}\over{x^2+b_1x + b_0}} dx = \int {{A}\over{x-x_0}} dx +$ $\int {{B}\over{(x - x_0)^2}} dx = A \log|x-x_0| - {B\over{x-x_0}} + C$

[modifica] Denominatore con due radici complesse coniugate

Se $δ < 0$ allora $x 2 + b 1 x + b 0 = 0$ non ammette radici reali. È sempre possibile determinare A,B tali che: $x^2+b_1x+b_0 = (x+A)^2+B^2 \ \forall x \in \R$ .

Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano A e B:

$\begin{Bmatrix} 2A = b_1 & \to A = {b_1\over 2} \\ A^2 + B^2 = b_0 & \to B^2 = b_0-({b_1\over2})^2 = - {\delta\over 4} \,>\, 0 \end{Bmatrix}$

Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:

$\int {{1}\over{x^2+b_1x + b_0}} dx = \int {{1}\over{(x+A)^2+B^2}} dx$

e si risolve nel modo seguente:

$\int {{1}\over{(x+A)^2+B^2}} dx = {{1}\over{B^2}} \int {{1}\over{({{x+A}\over{B}})^2+1}} dx = {{1}\over{B^2}} B \arctan {{x+A}\over{B}} + C$

Per concludere segnaliamo che esistono metodi analoghi applicabili per qualunque grado del denominatore.

[modifica] Integrazione per parti

Per approfondire, vedi la voce Integrazione per parti.

Se f e g sono derivabili in $[a, b]$ si ha

$\ (fg)^' = f^' g + fg^'$

ossia

$\ fg^' = (fg)^' - f^'g$ .

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che $\int {(fg)^'}\, dx = fg$ a meno di una costante si trova la formula di integrazione per parti:

$\int f(x)g^'(x)dx = f(x)g(x) - \int f^'(x)g(x)dx$

Da cui per gli integrali definiti:

$\int_{a}^{b} f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a) - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx$

[modifica] Integrazione per sostituzione

Per approfondire, vedi la voce Integrazione per sostituzione.

$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} dx\, f(x) = \int_{a}^{b} dt\, f(\phi(t)) \phi'(t)$

[modifica] Integrazione numerica e simbolica

Quelli finora esposti sono metodi di integrazione analitici: tuttavia, a volte, per problemi specifici può capitare di non riuscire ad applicarli. In tale circostanza si può ricorrere a metodi di aprossimazione numerica o a software di calcolo simbolico (vedi anche i metodi di algebra computazionale). Alcuni metodi numerici sono il metodo di Simpson, il metodo di Lobatto e il metodo del trapezio.