Integrazione per parti

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Il metodo di integrazione per parti deriva direttamente dalla formula di derivazione del prodotto:

$\ (fg)'=fg'+f'g$

Integrando otteniamo:

$\int (f \cdot g)'dx= \int f' \cdot g \, dx + \int f \cdot g' \, dx \Rightarrow f \cdot g = \int f' g \, dx + \int f g' \, dx$

Dunque:

$\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$

Ovviamente l'integrale a secondo membro dovrebbe essere più facilmente risolvibile che non quello originario; questo dipende dalla scelta del fattore $f (x)$ che è chiamato fattore finito, e dal fattore $g'(x) \,dx$ detto fattore differenziale.

La formula di integrazione per parti per integrali definiti prende la forma:

$\int_{a}^{b} f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a) - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \, dx$

[modifica] Formule ricorsive di integrazione

Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo.

Esempio

$I_1 = \int \sin^{2} x \, dx$

Usando il metodo di integrazione per parti:

$\int \sin (x) \cdot \sin (x) \, dx = \int sin (x) \cdot (-\cos (x))' \, dx =$

$= - \sin (x) \cos (x) + \int \cos^2 (x) \, dx = - \sin (x) \cdot \cos (x) + \int (1 - \sin^2 (x)) \, dx$

Dunque:

$I_1 = x - \sin (x) \cdot \cos (x) - \int \sin^2 (x) \, dx = x - \sin (x) \cdot \cos (x) - I_1$

quindi abbiamo ottenuto che:

$I_1 = \int \sin^2 (x) = \frac{1}{2} \left( x - \sin (x) \cdot \cos (x) \right) + C$

A questo punto possiamo calcolare tutti gli $I n + 1$ integrali di questo tipo:

$I_{n+1} = \int \sin^{2n+1} (x) \sin (x) \, dx = \int \sin^{2n+1} (x) \cdot (-\cos (x)) \, dx =$

$= - \sin^{2n+1} (x) \cdot \cos (x) + (2n+1) \int \sin^{2n} (x) \cdot \cos^2 (x) \, dx = - \sin^{2n+1} (x) \cos x + (2n+1) \int \sin^{2n} (x) (1-\sin^2 x) \, dx$

$I_{n+1} = \frac{1}{2n+2} \left[ (2n+1) I_n - \sin^{2n+1} (x) \cdot \cos (x) \right] + C$

[modifica] Più dimensioni

La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.

Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di $\mathbb{R}^n$ con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è

$\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,dx = \int_{\partial\Omega} u v \, \nu_i \,d\sigma - \int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} \, dx$

dove ν è la normale alla superficie unitaria uscente da to ∂Ω, ν_i è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con v_i e sommando su i si ottiene la formula vettoriale

$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{v}\, dx = \int_{\partial\Omega} u\, \mathbf{v}\cdot\nu\, d\sigma - \int_\Omega u\, \nabla\cdot \mathbf{v}\, dx$

dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti v_i

Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con $\mathbf{v}=\nabla v$ dove $v\in C^2(\bar{\Omega})$ , si ottiene