Integrale di superficie

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Si abbia una superficie S (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni x,y e z di due variabili indipendenti ξ e η:

e sia f(P) funzione continua dei punti P(ξ η) di detta superficie. Decomposta S, in modo arbitrario, in elementi Δs, si fissi su ciascuno di questi un punto P(ξ η), e si formi il prodotti f(P)Δs del valore di f(P) per ogni Δs. La somma di detti prodotti è indicata con:

Il limite di tale somma, quando il numero n degli elementi della decomposizione aumenta indefinitamente e ciascuna delle aree Δs diminuisce indefinitamente , se esiste ed è determinato e finito, si chiama integrale di superficie della funzione f(P) sulla superficie S, e si scrive

oppure

La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana C proiezione della superficie S sul piano x y.

Con lo spianamento della superficie S l'integrale in ds si trasforma nel seguente integrale doppio:

ove p e q sono rispettivamente:

che consente la valutazione dell'integrale di superficie.