面積分

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ベクトル解析における面積分（めんせきぶん、surface integral）は、3次元空間内の曲面の面素に関する（二次の）重積分。線積分は一次元の類似物にあたる。

[編集] 定義

[編集] 面積要素

滑らかな曲面 S 上の点座標 x = (x, y, z) が独立な変数 u, v の函数として x = S(u, v) := (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) によって表されるとき、

$d\sigma = |d\mathbf{x}| = |dS| := \left\vert \dfrac{\partial S}{\partial u}\times\dfrac{\partial S}{\partial v} \right\vert\,du\,dv$

を曲面 S = S(u, v) の u, v に関する面積要素あるいは面素と呼ぶ。

ここで、

$\left\vert \dfrac{\partial S}{\partial u}\times\dfrac{\partial S}{\partial v} \right\vert^2 = \begin{vmatrix}\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\\[14pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v}\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}\dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v}\\[14pt] \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[14pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}^2 = EG-F^2$

は、S の線素 ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv² から定まる第一基本量

$\begin{cases} E = \left(\dfrac{\partial x}{\partial u}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial u}\right)^2 \\[14pt] F = \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v} \\[14pt] G = \left(\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial y}{\partial v}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial v}\right)^2 \end{cases}$

によって記述できて、面素 dσ はパラメータ u, v の取り方に依らない。

[編集] 面素に関する積分

滑らかな曲面 S と S 上のスカラー値連続函数 f が与えられたとき、f の S における面積分は、独立なパラメータ u, v に関する累次積分として

$\iint\limits_S f\,d\sigma := \iint f(S(\mathbf{x}))|d\mathbf{x}| = \int\limits_{v_0}^{v_1}\int\limits_{u_0}^{u_1} f(S(u,v))\,\left\vert \dfrac{\partial S}{\partial u}\times\dfrac{\partial S}{\partial v} \right\vert\,du\,dv$

によって与えられる。

[編集] ベクトル場の面積分

曲面上のベクトル場に対して、各点における接平面に関する成分を集めることで面積分が定義できる。S を3次元空間 R³ 内の C¹ 級曲面で、向き O を持つとすると、S 上の連続ベクトル場 F の面積分

$\iint\limits_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = \int\limits_{v_0}^{v_1}\!\int\limits_{u_0}^{u_1} \mathbf{F}(S(u,v)) \cdot \left( \dfrac{\partial S}{\partial u} \times \dfrac{\partial S}{\partial v} \right) du\,dv$