Inclusione

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Nella teoria degli insiemi l'inclusione è una relazione tra gli elementi di due insiemi, tale che gli elementi della relazione appartengono ad entrambi gli insiemi.
In simboli, dati due insiemi A e B:

oppure, a parole:

B è contenuto o incluso in A se e solo se, per ogni elemento x, se x appartiene a B allora x appartiene ad A.

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta, per indicare che ogni elemento di B è anche elemento di A ma che esistono elementi di A che non sono elementi di B.
La notazione:

che si legge: "B è un sottoinsieme proprio di A" oppure "B è propriamente incluso in A", indica che vi sono certamente alcuni elementi di A che non appartengono a B.

Per esempio, se A={1,2,3,5,11} e B={1,2,3} ⇒ B ⊂ A.

[modifica] Proprietà

L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:

(riflessività)

(antisimmetria)

(transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di A e B. In altri termini

cioè: si dice che A è uguale B se e solo se A è contenuto in B e B è contenuto in A.

Inoltre

(oppure: ∅⊂A se A≠∅)

cioè: l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme.

[modifica] Distinzione fra inclusione ed appartenenza

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.
Esempi:

• è esatta: 2 ∈ {1,2,3} - cioè 2 appartiene all'insieme {1,2,3} -
• è ERRATA: 2 ⊂ {1,2,3} - cioè non si può dire che 2 è incluso nell'insieme {1,2,3} -
• è esatta: {2} ⊂ {1,2,3} - cioè il singoletto di 2 è incluso nell'insieme {1,2,3}.

[modifica] Voci correlate

• Appartenenza
• Sottoclasse
• Sottoinsieme
• Relazione binaria
• Teoria ingenua degli insiemi
• Teorie formali degli insiemi