Relazione binaria

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Nel linguaggio matematico si formalizza una relazione o corrispondenza tra due oggetti con l' appartenenza della coppia ordinata che essi costituiscono ad un insieme tendenzialmente ben determinato di tali coppie. In una esposizione matematica quindi si tende a fare riferimento all'intero insieme delle coppie che sono in quella relazione e si usa specificamente il termine relazione per tale insieme. Quindi ad esempio la relazione R(x,y)="x è moglie di y" sarà identificata con l'insieme di tutte le coppie sposate aventi come primo membro una moglie e come secondo membro il (un?) corrispondente marito.

[modifica] Definizione e notazioni

Più formalmente chiameremo relazione binaria tra gli insiemi $X$ e $Y$ un qualunque insieme di coppie aventi il primo componente in $X$ e il secondo in $Y$ , cioè un insieme $R$ sottoinsieme del prodotto cartesiano $X \times Y = \{\langle x,y\rangle |\!: x\in X , y\in Y \}$ (che è l'insieme di tutte le coppie ordinate possibili).

Per le relazioni binarie è molto comune usare notazioni infisse della forma $\,xRy\,$ per esprimere il fatto che la coppia $\langle x,y\rangle$ appartiene ad $R$ , cioè per individuare singoli. Tipicamente per indicare che il numero reale x è minore del numero reale y è usuale scrivere $x < y$ , mentre per ricondursi strettamente alla definizione generale si dovrebbe scrivere $\langle x,y\rangle \in <$ .

[modifica] Tipologia

La nozione di relazione è estremamente generale e da certi punti di vista, assai generica. La sua precisazione comunque ha contribuito in modo decisivo a porre ordine in moltissimi risultati della matematica e delle sue applicazioni che erano stati ottenuti in studi specifici e venivano proposte mediante enunciazioni anche molto scoordinate. La generalità della nozione implica che nella matematica e in tutti i settori applicativi che si servono di modelli matematici si incontrano moltissime relazioni. Come è prevedibile, le svariate relazioni presentano caratteristiche anche molto diverse ed è opportuno classificarle con cura.

Le relazioni si distinguono sia per la natura dei prodotti cartesiani nei quali si collocano, sia per le loro caratteristiche come insiemi di coppie.

Secondo il primo punto di vista si distinguono, in particolare,

le relazioni fra insiemi finiti (come quelle riguardanti gradi di parentela in un ambito familiare);
le relazioni fra insiemi numerabili (come la relazione di divisibilità fra interi positivi);
le relazioni fra insiemi continui (come le relazioni fra numeri reali, ad es. curve piane come le spirali, le funzioni di variabile reale o complessa e le superfici nello spazio tridimensionalele).

Va osservato che le relazioni binarie finite equivalgono ai digrafi, cioè ai grafi orientati.

Dal punto di vista delle caratteristiche degli insiemi di coppie si distinguono i seguenti tipi di relazione: