Involuzione (teoria degli insiemi)
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In matematica, un'involuzione è una funzione da un insieme in sé stesso tale che, se applicata due volte, il risultato coincide con l'elemento di partenza. In termini più precisi, un'involuzione è per definizione una funzione
che sia l'inversa di sé stessa, cioè
- f(f(x)) = x per ogni x in X.
Ogni involuzione è necessariamente una funzione biiettiva.
Il concetto di involuzione talvolta si mischia con quello di idempotenza, che però riguarda più propriamente funzioni tali che f(f(x)) = f(x). È possibile quindi trovare operatore idempotente come sinonimo di involuzione.
[modifica] Esempi
La funzione identità è un'involuzione banale. Esempi meno banali includono la moltiplicazione per -1 di un numero reale, l'insieme complemento di un sottoinsieme e il coniugato di un numero complesso.
In algebra lineare, tranne che in caratteristica due, un'applicazione lineare che sia un'involuzione è sempre diagonalizzabile.
In teoria dei gruppi, una permutazione è un'involuzione se è prodotto di trasposizioni indipendenti.
[modifica] Conteggio delle involuzioni
Il numero di involuzioni in un insieme con n elementi è dato dalla seguente relazione ricorsiva:
- a(0) = a(1) = 1
- a(n) = a(n − 1) + (n − 1)a(n − 2)
I primi termini della sequenza sono 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (sequenza A000085 nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).
[modifica] Voci correlate
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