Moltiplicazione

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La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. Nella sua forma più semplice, è un modo rapido di sommare dei numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.

Indice 1 Notazione 2 Definizione per numeri naturali 3 Proprietà algebriche 4 Numeri negativi 5 Numeri razionali, reali e complessi 6 Computazione 7 In musica 8 Voci correlate

[modifica] Notazione

Per approfondire, vedi la voce Produttoria.

Si può denotare la moltiplicazione in diversi modi, spesso chiamati per, tutti equivalenti. Tutte le forme seguenti significano "cinque volte due":

L'asterisco si usa spesso al calcolatore, perché è un simbolo che si trova su ogni tastiera: viene però usato raramente se si scrive matematica a mano. Questo uso è nato a partire dal linguaggio di programmazione FORTRAN.

Spesso la moltiplicazione viene implicata dalla giustapposizione dei termini che vengono semplicemente scritti uno a fianco all'altro, piuttosto che esplicitata con un simbolo. Questo è il modo favorito in algebra, dove si trovano espressioni come

5x e xy.

Questa notazione non viene mai usata se si hanno solamente numeri: 42 sarà sempre "quarantadue" e mai quattro × due, né si può usare nel caso le variabili abbiano nomi più lunghi di una lettera.

Se non si può o non si vuole scrivere tutti i termini del prodotto, si può usare un'ellissi per indicare quelli mancanti, come fatto anche per l'addizione. Pertanto, il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 100 può essere scritto . L'ellissi può anche essere rialzata rispetto alla base della riga scritta, come in .

[modifica] Definizione per numeri naturali

La definizione del prodotto di due numeri interi positivi n e m non è altro che:

o per dirla in maniera più naturale, "aggiungi m a sé stesso per n volte", come si può vedere espandendo la sommatoria:

m × n = m + m + m + ... + m

dove l'ellissi indica che ci sono n copie di m da sommare. Quindi per esempio

• 5 × 2 = 5 + 5 = 10
• 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12
• m × 6 = m + m + m + m + m + m

[modifica] Proprietà algebriche

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune interessanti proprietà della moltiplicazione. Come i primi due esempi qui sopra suggeriscono, l'ordine con cui due numeri sono moltiplicati non ha importanza: questa è la proprietà commutativa della moltiplicazione. Per ogni coppia di numeri x e y,

x · y = y · x.

La moltiplicazione possiede anche la proprietà associativa, che afferma che per ogni terna di numeri x, y e z,

(x · y)z = x(y · z)

dove le parentesi indicano l'ordine con cui vengono fatte le operazioni: prima quelle interne alla parentesi stessa.

Vi è un'ulteriore proprietà, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, che dice che si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:

x(y + z) = xy + xz.

Occorre poi ricordare che ogni numero moltiplicato per 1 è pari a sé stesso:

1 · x = x

x · 1 = x.

Il numero 1 è detto elemento identità (o elemento neutro) per la moltiplicazione.

E per quanto riguarda lo zero? Beh, dato che abbiamo

m · 0 = m + m + m +...+ m

dove ci sono zero m sommate insieme, la somma è zero, e così

m · 0 = 0

per un qualunque m (finito). Un altro modo per vedere la cosa è usare la proprietà distributiva:

m · n = m · (n + 0) = (m · n) + (m · 0)

da cui si ottiene il risultato voluto.

[modifica] Numeri negativi

Per moltiplicare numeri negativi, si può procedere in modo simile. Iniziamo a considerare meno 1. Per ogni intero positivo m vale che

(−1)m = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −m

il che ci porta a notare che ciascun numero negativo è meno uno moltiplicato per un numero positivo. Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di (−1): ci resta solo da definire esplicitamente (−1)(−1):

(−1)(−1) = −(−1) = 1

La regoletta pratica "meno per meno fa più" ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l'anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè "tra meno n anni") avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno m euro"), tra tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora!

[modifica] Numeri razionali, reali e complessi

La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.

Per i numeri razionali abbiamo che

Per i numeri reali, una definizione adatta di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come taglio; a questo punto si moltiplicano i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro e si dimostra che si ha ancora un taglio.

Per i numeri complessi, infine, abbiamo che

Meno immediato, almeno a prima vista, è il concetto che il risultato di moltiplicare nessun numero sia 1, e non zero. La cosa si ottiene subito, vedendo che un qualunque numero può vedersi come se fosse moltiplicato per il prodotto vuoto.

Una definizione ricorsiva della moltiplicazione può essere data dalle regole:

x · 0 = 0

x · y = x + x·(y − 1)

dove x è un numero reale, e y un numero naturale. Una volta data una definizione per i naturale, è facile estenderla agli interi, ai reali e infine ai numeri complessi.

[modifica] Computazione

• Metodi manuali:
  • per moltiplicare due numeri con carta e penna, l'approccio più comune fa uso della tavola pitagorica, e di un algoritmo che ottiene il prodotto finale come somma di tanti prodotti di moltiplicazioni più semplici. Il tempo impiegato con questo metodo cresce con l'aumentare delle cifre dei numeri da moltiplicare; se si vuole risparmiare tempo, ed è sufficiente un risultato approssimato, si possono usare l'algoritmo di prostaferesi, o meglio ancora quello dei logaritmi.
  • il supporto strumentale più antico è l'abaco che permette di ottenere risultati esatti. Risale al XV secolo il regolo calcolatore che da risultati approssimati (ma è molto più rapido). Nel XX secolo, più per sfizio accademico che per reale necessità pratica, è stato progettato un regolo prostaferico
  • nel 1962 il matematico russo Anatoly Karatsuba definisce il primo algoritmo per la moltiplicazione con complessità meno che quadratica; nel 1963 un altro russo, Andrei Toom, pone le basi per l'algoritmo di Toom-Cook, con complessità ancora inferiore.

• Metodi meccanici:
  • Nel XVIII secolo Gottfried Leibniz perfeziona la pascalina aggiungendo la moltiplicazione alle funzioni disponibili.

• Metodi elettronici:
  • Le moderne calcolatrici tascabili racchiudono la logica degli algoritmi in un microchip.
  • Una panoramica dei modi per implementare informaticamente la moltiplicazione è disponibile su questa pagina.

[modifica] In musica

In musica, la moltiplicazione modulo 12 è un'operazione di base, che può essere effettuata su insiemi di note. Nel contesto della dodecafonia ci sono relativamente pochi valori rispetto ai quali si può moltiplicare una successione di dodici note distinte per ottenerne ancora dodici.

Ponendo la forma principale, vale a dire non alterata, come P₀, la moltiplicazione viene indicata come Mx, dove x è il moltiplicatore:

• Mx(y) = xy

Come per gli altri operatori di composizione, la moltiplicazione viene effettuata e poi eventualmente trasposta per far ritornare tutti i suoni nell'ottava. P₀ = M1₀, I₀ = M11₀, M7₀=I(M5₀). Quindi per la forma non trasposta, si ha:

M1	M5	M7	M11
M5	M1	M11	M7
M7	M11	M1	M5
M11	M7	M5	M1

I numeri pari rimangono immutati da M7, mentre i dispari vengono trasposti da un tritono.

La scala cromatica può essere trasformata nel circolo delle quarte con M5, e nel circolo delle quinte con M7.

[modifica] Voci correlate

• Addizione
• Differenza
• Divisione
• Potenza
• Elemento inverso
• Produttoria