Divisione (matematica)

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In matematica, specialmente in aritmetica elementare, la divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.

Più specificatamente, se

a × b = c,

dove b è diverso da zero, allora

a = c : b

(da leggersi "c diviso b"). Ad esempio, 6:3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.

Nell'espressione sopra, a viene chiamato il quoziente, b il divisore e c il dividendo. Specialmente nella scuola elementare, a viene detto quoto, riservando il termine quoziente alla divisione con resto (non esatta: 7/3 ha quoziente 2 e resto 1).

L'espressione c : b viene anche scritta "c/b" (letta "c su b", o "c b-esimi"), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all'ingegneria, e nei linguaggi di programmazione. Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.

In inglese, il simbolo della divisione ha una barretta orizzontale tra i due punti: c ÷ b. In italiano questo uso si è perso, probabilmente perché le macchine da scrivere prima e i calcolatori poi non permettono di digitare direttamente tale simbolo; nell'uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.

La divisione per zero di solito non viene definita.

[modifica] Computazione della divisione

Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.

Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245.7/3.78 si farà quella equivalente 24570/378. Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285/189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365/21 (eliminando un fattore 9), 455/7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.

Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c'è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.

Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un'inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.

[modifica] Divisione tra interi

La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero che non è definita - non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri a e b tali che non esiste alcun intero c per cui a : b = c. In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:

Come per ogni operazione non chiusa si può dare semplicemente la non definizione dell'operazione: 39 non può essere diviso per 15.
Si può immergere l'insieme dei numeri interi in un insieme in cui l'operazione è chiusa (nel nostro caso si utilizzano tipicamente il campo dei razionali o dei reali) e dare la risposta in questo nuovo insieme: ad esempio 39 : 15 = 2,6, oppure $39/15 = 2\frac{3}{5}$ .
Si può dare la risposta sotto forma di quoziente e resto usando la divisione euclidea (si veda anche dominio euclideo): nel nostro esempio si scriverà 39 : 15 = 2 con resto 9. Questo è l'approccio che si usa quando vengono insegnate le divisioni nella scuola elementare.
Da ultima, è molto utilizzata pure la divisione intera, ovvero considerare solamente il quoziente come risposta, eliminando il resto: 39 : 15 = 2. Chiaramente questa operazione non è più l'operazione inversa della moltiplicazione.

Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.

[modifica] Divisione di numeri razionali

A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali p/q e r/s come il valore

${p/q \over r/s} = (p \times s)/(q \times r).$

Tutti e quattro i valori sono interi, e solo p può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che

$(p \times s)/(q \times r) \, \times \, r/s = (prs/qrs) = p/q.$

[modifica] Casi particolari della divisione

Per approfondire, vedi la voce Divisione per zero.

I casi particolari riguardano l'operazione di divisione quando la cifra $0$ è il dividendo e/o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto $b$ un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:

Caso 1: $0 / b = 0$

Si verifica facilmente grazie alla definizione: l'unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.

Caso 2: $a / 0 = ?$

Caso 3: $0 / 0 = ?$

Anche qua il trucco per risolvere l'empasse è considerare la definizione di divisione, cioè come l'inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell'equazione $0 x = a$ ; essa ha:

nessuna soluzione se $a$ è diverso da $0$ (caso 2): non esiste un risultato della divisione di $a$ per $0$ , l'operazione è impossibile
infinite soluzioni se $a$ è uguale a $0$ (caso 3): l'operazione $0 / 0$ è indeterminata o indefinita

[modifica] Divisione di numeri reali

Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati a e b, si definisce a/b = c se e solo se a = cb e b ≠ 0.

[modifica] Divisione di numeri complessi

Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.

Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di $(p + i q)$ per $(r + i s)$ , dove p, q, r e s sono numeri reali e r e s non possono essere entrambi nulli, è dato da

${p + iq \over r + is} = {pr + qs \over r^2 + s^2} + i{qr - ps \over r^2 + s^2}.$

Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra $p e i q$ e $r e i s$ , con p, q, r e s numeri interi e r diverso da zero, è dato da

${pe^{iq} \over re^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.$

[modifica] Divisione di polinomi

Per approfondire, vedi la voce Divisione dei polinomi.

La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.

[modifica] Divisione in algebra astratta

Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come ${a \over b}$ sono tipicamente definite come $a \cdot {1 \over b}$ oppure $a \cdot b^{-1}$ , quando $b$ è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento c tale che $b c = c b = 1$ , dove $1$ è l'identità moltiplicativa; l'elemento c viene generalmente scritto come $b^{-1}\!$ ). In un dominio d'integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di "divisione" si può parlare di cancellazione, nelle equazioni della forma $a b = a c$ o $b a = c a$ , dove a viene cancellato da entrambi i membri; la cancellazione (sinistra o destra rispettivamente) può essere effettuata in un ogni anello.

[modifica] Divisione e analisi matematica

La funzione quoziente di due funzioni f e g è la funzione h il cui valore in un punto x è dato da $h(x) = {f(x)\over g(x)}$ . È definita nell'intersezione dei due domini di f e g, ad eccezione dei valori x che annullano la g.