חבורה (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק במבנה האלגברי הנקרא חבורה. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו חבורה (פירושונים).

במתמטיקה, חבורה היא מבנה אלגברי המבוסס על פעולה בינארית אחת, המקיימת כמה תנאים, ובראשם אסוציאטיביות. החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-18, במסגרת הנסיונות לפתור משוואות פולינומיות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם גלואה ואבל, היו חבורות מוחשיות הכוללות תמורות. מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות.

[עריכה] הגדרה

חבורה $\ G$ היא מבנה אלגברי בסיסי הכולל קבוצה עם פעולה בינארית (סגורה) $\cdot$ , אשר מקיימת את התכונות הבאות:

אסוציאטיביות (קיבוציות): לכל $a,b,c\in G$ מתקיים ש $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ .
איבר יחידה (נייטראלי): קיים איבר $e\in G$ כך שלכל $a\in G$ מתקיים $a\cdot e=e\cdot a=a$ .
הפיכות: לכל $\ a\in G$ קיים $\ b\in G$ כך ש $a\cdot b=b\cdot a=e$ .

חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות (חילופיות) $a\cdot b=b\cdot a$ .

[עריכה] דוגמאות

קבוצת המספרים השלמים היא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, אך לא ביחס לפעולת הכפל, כיוון שרק למספרים 1,1- יש הופכי.
$\ S_n$ , חבורת התמורות על $\ n$ איברים, ביחס לפעולת ההרכבה. זוהי חבורה לא אבלית, עבור $\ n$ גדול מ- $\ 2$ .
אוסף המטריצות ההפיכות מסדר $\ n$ , המסומן $\ \mbox{GL}_n\mbox{(F)}$ , הוא חבורה ביחס לפעולת הכפל של מטריצות.
חבורת השורשים המרוכבים של המשוואה $\ z^n = 1$ עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים. חבורה זו היא חבורה ציקלית מסדר $\ n$ . גם מעגל היחידה ב $\ \mathbb{C}$ , כלומר $\ \{z\in\mathbb{C}\ |\ \left|z\right|=1\}$ , הוא חבורה ביחס לכפל.

[עריכה] קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר

חבורה היא סוג מיוחד של חבורה למחצה - היא חבורה למחצה שבה יש איבר יחידה, וכל האיברים בה הפיכים. בחבורה למחצה אפשר להגדיר מושגים כלליים יותר, כמו איבר יחידה מימין (איבר e המקיים את היחס xe=x לכל x) ויחידה משמאל (איבר המקיים את היחס ex=x לכל x); בחבורה למחצה יכולים להיות כמה איברי יחידה מימין, או כמה איברי יחידה משמאל, אבל אם יש בה איבר יחידה מימין ואיבר יחידה משמאל, אז הם מוכרחים להיות שווים זה לזה. חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת מונואיד.

גם במונואיד, אפשר למיין איברים לפי תכונות חד-צדדיות. איבר b הוא ההפכי מימין של a אם ab=1, והוא ההפכי משמאל של a אם ba=1. יחסים אלה אינם נובעים זה מזה באופן כללי, ובמונואידים מסוימים יש איברים הפיכים מימין (או משמאל), שאינם הפיכים. מאידך, אם יש לאיבר a גם הפכי מימין וגם הפכי משמאל, אז הם שווים זה לזה, והאיבר הפיך; במקרה כזה, מסמנים את ההפכי ב- $\ a^{-1}$ . אוסף האיברים ההפיכים במונואיד סגור לכפל (בגלל התכונה $\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ), והוא מהווה לכן חבורה.

[עריכה] פעולות יסודיות ואיברים צמודים

לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן לפעול על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה X מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה X לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של X מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.

כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר x שולח את האיבר y לאיבר xy. בדרך זו הופך האיבר x לתמורה על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של משפט קיילי: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר x שולח את y ל- $\ xyx^{-1}$ ; פעולה זו מחלקת את החבורה G למחלקות שקילות מן הצורה $\ \{xyx^{-1}: x\in G\}$ , הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם אוטומורפיזם של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת הצגה של החבורה, כתת חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה אם ורק אם לחבורה יש מרכז טריוויאלי.

[עריכה] תת-חבורות

תת-קבוצה של חבורה G המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולת כפל ולאותו איבר יחידה), נקראת תת-חבורה. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני אברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. החיתוך של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות קוסטים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה $\ gH = \{gx: x\in H\}$ , ומשמאל, המחלקות הן מהצורה $\ Hg = \{xg: x\in H\}$ . מספר האברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האברים בתת-החבורה, ומכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של תת חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת חבורה נקרא האינדקס של תת החבורה ומסומן $\ [G:H]$ . כאשר החבורות סופיות אז מתקיים $[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$ .

מן הסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של אברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.

בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות הנורמליות, שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במלים אחרות, תת-חבורה H היא תת-חבורה נורמלית של G אם לכל $\ x\in G$ מתקיים $\ xHx^{-1}\sub H$ ; לכן $\ xH=Hx$ לכל x. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית H אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת חבורת המנה של G ביחס ל- H, וגודלה הוא האינדקס של H ב G. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת חבורה פשוטה. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי הרחבה של חבורות. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש- N תת-חבורה נורמלית של H, ו- H תת-חבורה נורמלית של G, בעוד ש- N אינה נורמלית ב- G).

המכפלה של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האברים, $\ H_1 H_2 = \{h_1 h_2 : h_1 \in H_1, h_2 \in H_2\}$ . זוהי תת-חבורה אם ורק אם $\ H_1 H_2 = H_2 H_1$ . מכיוון שתת-חבורה נורמלית N מקיימת את הזהות $\ xN=Nx$ , המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).

[עריכה] תת-חבורות מיוחדות

אומרים שאברים a,b בחבורה מתחלפים, אם ab=ba. אוסף האברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת מֶרְכָּז החבורה; את המרכז של G מקובל לסמן ב- $\ Z(G)$ , על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית, הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון החבורה הסימטרית, שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.

לכל תת-חבורה H, מסמנים ב- $\ C_G(H)$ את אוסף האברים של החבורה, המתחלפים עם כל אברי H. תת-חבורה זו נקראת המְרַכֵּז של H. אם $\ H \subseteq H_1$ שתי תת-חבורות של G, אז $\ C_G(H_1)\subseteq C_G(H)$ . לכל תת-חבורה מתקיים $\ H \subseteq C_G(C_G(H))$ , ו- $\ C_G(H)=C_G(C_G(C_G(H)))$ .

באופן דומה, מגדירים את המנרמל של H, כתת-החבורה $\ \{x \in G : xHx^{-1}=H\}$ . תת-חבורה זו מכילה את H, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.

ראו גם: תת חבורת הקומוטטורים, סדרת הרכב.

[עריכה] יוצרים ויחסים

קבוצה S של אברים בחבורה G היא קבוצת יוצרים של G, אם תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את S היא G עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת חבורה ציקלית; לחבורה שאינה בת מנייה אין קבוצות יוצרים סופיות.

היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם יחסים; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות $\ \sigma = (123), \tau=(12)$ , המקיימות את היחסים $\ \sigma^3 = \tau^2 = (\sigma\tau)^2 =1$ . חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת חבורה חופשית; כל חבורה היא חבורת מנה של חבורה חופשית.