חוג (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן). הדוגמה הבסיסית היא חוג המספרים השלמים.

תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 דוגמאות
3 הומומורפיזמים
4 תכונות

[עריכה] הגדרה

הקבוצה $\ R$ וצמד הפעולות הבינאריות $\ +:R\times R \mapsto R$ ו- $\ \cdot:R\times R \mapsto R$ ( שיקראו חיבור וכפל בהתאמה) יקראו חוג אם הן מקיימות את האקסיומות הבאות $\ \forall x,y,z \in R$ :

החיבור הוא חילופי: $\ x+y = y+x$ .
החיבור והכפל הם אסוציאטיביים : $\ (x+y)+z = x+(y+z)$ ו- $\ (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z)$ .
קיים $\ 0\in R$ כך ש: $\ x+0 = 0+x = x$ . איבר זה נקרא איבר האפס (או: 'האיבר האדיש לחיבור').
לכל $\ x\in R$ קיים איבר $\ (-x) \in R$ אשר מקיים: $\ x+(-x)=0$ . זהו האיבר הנגדי של $\ x$ .
קיים $\ 1\in R$ כך ש: $\ x\cdot 1 = 1\cdot x = x$ עבור כל $\ x\neq 0$ . איבר זה נקרא איבר היחידה (או: 'האיבר האדיש לכפל').
החיבור והכפל מקיימים את חוק הפילוג: $\ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z$ ו- $\,(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$

לפי הגדרה זו, חוג עם פעולת החיבור שלו מהווה חבורה אבלית. הכפל אינו חייב להיות חילופי. אם בכל זאת הכפל כן חילופי, אז החוג נקרא חוג חילופי (קומוטטיבי). דוגמה לחוג לא-חילופי הוא חוג המטריצות (כפל מטריצות אינו חילופי).

הגדרה זאת היא ההגדרה המקובלת בספרות המתמטית העדכנית. אנו מעדיפים בוויקיפדיה לדבוק בהגדרה זאת. בחלק מהספרות המתמטית המונח חוג מוגדר ללא אקסיומה 5 הדורשת קיום איבר יחידה. מבנה אלגברי המקיים את כל האקסיומות פרט אולי לאקסיומה 5 נקרא 'חוג-בלי-יחידה'. כך, חוג הוא חוג-בלי-יחידה שיש לו יחידה. באנגלית מקובל גם המונח rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). בעברית לא התקבל המונח חג לציון חוג-בלי-יחידה. למעשה, ברשימה זו האקסיומה הראשונה היא מיותרת, שכן היא נובעת מיתר האקסיומות. למרות זאת, מקובל לכלול אותה ברשימת האקסיומות.

[עריכה] דוגמאות

כאמור, המספרים השלמים, המסומנים $\mathbb{Z}$ מהווים חוג קומוטטיבי עם יחידה.
אוסף כל המטריצות מסדר $\ n\times n$ מעל שדה $\mathbb{F}$ (או מעל חוג $\ R$ ), המסומן $M_n(\mathbb{F})$ (או $\ M_n(R)$ ) הוא חוג לא קומוטטיבי עם יחידה.
אוסף כל הפולינומים עם מקדמים משדה F או, המסומן $\ F[x]$ הוא חוג קומטטיבי עם יחידה.
באופן יותר כללי, יהי R חוג עם יחידה ויהי $\,R[x]$ אוסף הפולינומים במשתנה x עם מקדמים מR. תחת הפעולות של כפל וחיבור פולינומים זהו חוג עם יחידה. חוג זה הוא קומוטטיבי אם ורק אם R קומוטטיבי. כמו כן הוא מכיל את R כתת חוג. (ראו הגדרה בהמשך).
כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.

[עריכה] הומומורפיזמים

אם A ו-B הם חוגים ו- $\,f:A\rightarrow B$ היא פונקציה, אומרים שf היא הומומורפיזם של חוגים אם מתקיים:

לכל $\,a,b \in A$ מתקיים $\,f(a+b) = f(a) + f(b)$ .
לכל $a,b \in A$ מתקיים $f(a\cdot b) = f(a) \cdot f(b)$ .

בנוסף לכך, פעמים רבות דורשים כי $\,f(1_A) = 1_B$ כאשר $\,1_A$ הוא איבר היחידה של A ו $\,1_B$ הוא איבר היחידה של B.

[עריכה] תכונות

[עריכה] תת חוג

תת קבוצה של חוג $\ S\subset R$ שהיא חוג בפני עצמה עבור אותן פעולות של החוג ואותם קבועים 0 ו- 1, תקרא תת חוג של החוג $\ R$ . למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים. אפשר להגדיר גם תת חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים.