Vành

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Xin xem các mục từ khác có tên tương tự ở Vành (định hướng).

Mục lục

1 Định nghĩa
2 Ví dụ
3 Vành con
4 Iđêan (Ideal)
- 4.1 Các khái niệm
- 4.2 Một số kết quả
5 Vành thương
6 Đồng cấu vành
7 Đặc số của vành
8 Liên kết ngoài

Trong toán học, vành cùng với nhóm, trường là những cấu trúc đại số cơ bản.

[sửa] Định nghĩa

Tập hợp R được gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:

R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:
1. Phép cộng có tính kết hợp: $\forall x,y,z \in R$ :( $x+y)+z=x+(y+z) \,$
2. Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là $\exists 0 \in R, \forall x \in R$ : $0+x=x+0 = x \,$
3. Mọi phần tử của R có phần tử đối: $\forall x, \exists x' : x+x'=x'+x= 0$
4. Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là : $\forall x,y \in R: x+y=y+x$
Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa là $\forall x,y,z \in R: x.(y+z)=x.y+x.z$
Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là $\forall x,y,z \in R: (x.y).z=x.(y.z) \,$
Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là $\exists 1 \in R, \forall x \in R: 1.x = x.1 = x \,$

Tuy nhiên, có trường phái khác, định nghĩa một vành không có điều kiện phép nhân phải có phần tử đơn vị. Trong trường phái này, vành có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.

Lại có trường phái khác định nghĩa một vành vừa không có phần tử đơn vị, vừa không có điều kiện phép nhân phải có tính kết hợp. Thí dụ, các loại vành Lie được gọi là vành nhưng phép nhân không có tính kết hợp. Người theo trường phái này dùng chữ vành kết hợp để gọi một vành trong đó phép nhân có tính kết hợp. Ngược lại, người theo định nghĩa như ghi ở trên gọi các loại vành không có tính kết hợp là vành không kết hợp.

Một số loại vành đặc biệt

Vành giao hoán là vành R trong đó phép nhân có tính chất giao hoán.
Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.
Nếu trong vành R tồn tại hai phần tử $a \ne 0$ , $b\ne 0$ sao cho a.b=0 thì các phần tử a, b được gọi là ước của 0. Vành giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là vành nguyên hay miền nguyên.
Vành chínhMiền nguyên X gọi là vành chính nếu mọi ideal của nó đều là vành chính(đnhj nghỉa vành chính xin xem trong phần định nghĩa về ideal)
Vành EuclidMiền nguyên A gọi là vành Ơclit nếu có ánh xạ f:Ā→N(vớiĀ là tập các phần tử khác 0 của A) thỏa mãn tính chất sau:

)nếu blà ước của a và a ≠ 0 thì f(b)≤ f(a)
)với a,b là hai phần tử tùy ý của A và b≠0 thì tồn tại duy nhất cặp phần tử q,r của A sao cho a=b×q+r và f(b)≥f(r)nếu r≠0.

6)Vành Noether :Vành giao hoán có đơn vị được gọi là vành Noether néu mọi ideal của nó đều là hữu hạn sinh,tức là tồn tại một tập sinh hữu hạn phần tử 7) Vành Gauss hay vành nhân tử hóa là một miền nguyên A mà mọi phần tử khác không và không khả nghịch đèu được phân tích một cách duy nhất thành tích của hữu hạn phần tử bất khả quy nếu không tính đến thứ tự của các phần tử.

[sửa] Ví dụ

Tập hợp các số nguyên $\mathbb {Z}$ với phép cộng và nhân thông thường là một vành.
Tập các ma trận vuông cùng cấp n với phép cộng và nhân ma trận là một vành.
Tập các đa thức với hệ số trên trường số thực là một vành.
Tập các số dạng $a+ b.\sqrt {3}$ , với $a,b \in \mathbb {Z}$ là một vành.
Vành số nguyên với phép toán cộng và nhân thông thường là vành Ơclit,vành chính,và vành Gauss.
Các vành chính ,vành Ơclit ,vành đa thưc trên một trường K là các vành Gauss

Một số nguyên Gauss (hay số nguyên phức) là một số phức mà các phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Các số nguyên Gauss, với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức tạo thành một vành, gọi là vành số nguyên Gauss, thường kí hiệu là Z[i].

Các số nguyên Gauss như các điểm mắt lưới trên mặt phẳng phức.

Trong vành số nguyên Gauss, ta cũng có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên như : chia hết, số nguyên tố Gauss, đồng dư... Khái niệm đóng vai trò quan trọng đối với các số nguyên Gauss là chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa là: $\|a+b.i\|=a^2+b^2$ . Có những kết quả khá thú vị như : nếu $\|Z\|$ là số nguyên tố thì Z là số nguyên tố Gauss.

[sửa] Vành con

[sửa] Định nghĩa

Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A.

Các vành con đặc biệt:
- Tập gồm một phần tử {0} và chính R là vành con của R
- Cho phần tử a \in R. Tập các phần tử dạng n.a, $n \in \mathbb Z$ là vành con của R

[sửa] Các điều kiện tương đương

Cho R là một vành, tập con A $\subset$ R. Các mệnh đề sau là tương đương:

A là vành con của R;
$\forall$ x,y $\in$ A, x+y $\in$ A, x.y $\in$ A, –x $\in$ A;
$\forall$ x,y $\in$ A, x–y $\in$ A.

[sửa] Giao của các vành con

Giao của họ bất kỳ các vành con của R là vành con của R

[sửa] Iđêan (Ideal)

[sửa] Các khái niệm

Vành con A của vành R được gọi là iđêan trái (hoặc phải) của R nếu x.a $\in$ A ( hoặc a.x $\in$ A) với mọi a $\in$ A, với mọi x $\in$ R.
Vành con A vừa là iđean trái, vừa là iđêan phải của R được gọi là iđean của R.
Giao của họ bất kỳ các iđêan của R là iđean của R.
Cho tập con X $\subset$ R. Iđêan nhỏ nhất của R chứa X được gọi là iđêan sinh bởi X.
Giả sử Alà vành giao hoán có đơn vị,một ideal X≠A gọi là ideal tối đại nếu các ideal của A chứa X hoặc là X hoặc là A.Một ideal P của A gọi là ideal nguyên tố nếu và chỉ nếu u,v thuộc P mà tích uv thuộc P thì u thuộc P hoặc v thuộc P.

[sửa] Một số kết quả

Nếu R là vành giao hoán, có đơn vị thì iđean sinh bởi tập con của R:

{a₁,a₂,...,a_k}

là tập hợp các phần tử dạng:

a₁.x₁+a₂.x₂+...+a_k.x_k

trong đó x₁,x₂,...,x_k $\in$ R

Nếu R là vành có đơn vị của R và A là iđeal của R chứa đơn vị thì A=R.

[sửa] Vành thương

Cho A là một iđean của vành R và phần tử x $\in$ R.Tập con của R gồm các phần tử dạng x+a với mọi a $\in$ A được gọi là một lớp kề của A theo x.
Ký hiệu R/A là tập hợp tất cả các lớp kề của A với mọi x $\in$ R:

R/A={x+A | x $\in$ R}

được gọi là tập thương của R theo A.

Trên tập thương R/A có thể xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
- (x+A)+(y+A)=(x+y)+A
- (x+A).(y+A)=(x.y)+A

Khi đó có thể chứng minh R/A là một vành, vành này được gọi là vành thương của R theo A.

Ví dụ:

Cho n là số nguyên dương. Tập $n.\mathbb Z$ là iđean của $\mathbb Z$ . Vành thương $\mathbb Z$ / $n.\mathbb Z$ chính là vành các lớp đồng dư theo môđun n.

giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và A là một ideal của X khi đó

X/A là miền nguyên khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố.
X/A là trường khi và chỉ khi Α là ideal tối đại.

[sửa] Đồng cấu vành

[sửa] Khái niệm

Cho R và R là hai vành. Ánh xạ f:R $\to$ R được gọi là đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với mọi a,b $\in$ R:

f(a + b) =f(a) + f(b)
f(a.b) =f(a).f(b)

Nếu đồng cấu f là đơn ánh (hoặc toàn ánh) thì tương ứng f được gọi là đơn cấu vành(hoặc toàn cấu vành).
Nếu đồng cấu f là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu vành.
Nếu R'=R thì f được gọi là tự đồng cấu của vành R.
Nếu có đồng cấu ( hoặc đẳng cấu)f từ vành R đến vành R thì R được gọi là đồng cấu (hoặc đẳng cấu) với R.

[sửa] Ví dụ

Ánh xạ không f: R \to R' cho f(x) = 0 với mọi x $\in$ R là đồng cấu vành.
Ánh xạ đồng nhất của R là một tự đồng cấu của R.
Cho A là vành con của R. Ánh xạ nhúng j:A $\to$ R cho j(a)=a với mọi a $\in$ A là một đơn cấu vành. Nó được gọi là đơn cấu chính tắc từ A vào R.
Cho A là iđean của R. Ánh xạ h:R \to R/A cho h(x)=x+A là một toàn cấu, nó được gọi là toàn cấu chính tắc.
Tích (ánh xạ) của hai đồng cấu là đồng cấu.Tích (ánh xạ) của hai đẳng cấu là đẳng cấu.

[sửa] Ảnh và hạt nhân của đồng cấu

Khái niệm
- Cho đồng cấu vành f: R $\to$ R'.

Tập con của R gồm các phần tử của Rcó ảnh là phần tử không của R' được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Ker(f)

Ker(f)={x $\in$ R| f(x)=0}

- Tập f(R) được gọi là ảnh của đồng cấu f, ký hiệu là Im(f).

Tính chất

Ker(f) là iđêan của R và Im(f) là vành con của R'.
Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={0}
Với mọi đồng cấu f:R $\to$ R', Im(f) đẳng cấu với vành thương R/Ker(f).

[sửa] Đặc số của vành

Cho vành có đơn vị R. Nếu tồn tại số nguyên dương m sao cho m.1 = 0 thì số m nhỏ nhất có tính chất đó được gọi là đặc số của R. Nếu không tồn tại m như vậy R được gọi là có đặc số 0.
Ví dụ : Vành số nguyên có đặc số 0, vành thương / có đặc số n.
- - Sơ lược về lịch sử nghiên cứu vành đại số:

Những người góp công lớn trong việc nghiên cứu vành đại số và ideal là các nhà toán học Đức mà đại diện là :E.Kummer(1810-1893);R.Dedekin(1831-1936);và Đặc biệt là nhà toán học nữE.Noether(1882-1935) Khi chứng minh bài toán Fecma lớn E.Kummer đẵ sư dụng phương pháp xuống thang trên tập số nguyên nhưng mọi cố gắng đều thất bại. Để khắc phục ông đẵ xét bài toán trong lớp vành thực sự chưa Z.Trên lớp vành này ông phai làm việc với các sốideal là mầm mống của khái niệm ideal sau này.người đưa khái niệm ideal là Dedekin và người có công lớn trong việc phát triển lý thuyết vành và ideal trừi tượng là E.Noether.

[sửa] Liên kết ngoài

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Vành

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Mục lục

[sửa] Định nghĩa

[sửa] Ví dụ

[sửa] Vành con

[sửa] Định nghĩa

[sửa] Các điều kiện tương đương

[sửa] Giao của các vành con

[sửa] Iđêan (Ideal)

[sửa] Các khái niệm

[sửa] Một số kết quả

[sửa] Vành thương

[sửa] Đồng cấu vành

[sửa] Khái niệm

[sửa] Ví dụ

[sửa] Ảnh và hạt nhân của đồng cấu

[sửa] Đặc số của vành

[sửa] Liên kết ngoài

Views

Chuyển hướng

Tìm kiếm

Ngôn ngữ khác