Gyűrű (matematika)
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező R struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: 
–, ha
- (R; + ) Abel-csoport,
félcsoport és- a tetszőleges
elemekre fennállnak a következő disztributivitási szabályok:
, és
.
A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként a 
jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát 
helyett ab szerepel.
Ha kommutatív akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig egységelemes, egységelemes gyűrűről.
Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Példák
- Az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel egységelemes, kommutatív gyűrűt alkot.
[szerkesztés] Részgyűrű, ideál
Egy R gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát R egy részgyűrűjének hívjuk, ha az adott részhalmaz is gyűrűt alkot az R-beli összeadás, és szorzás megszorítására. Ellenőrzésként a legfontosabb, hogy az adott művelet ne vezessen ki a gyűrűből.
Egy R gyűrű tartóhalmazának egy I részhalmazát R egy balideáljának nevezzük, ha bármely két I-beli elem különbsége (azaz az összeadás inverzét elvégezve) is I-beli, valamint egy tetszőleges R elem megszorozva egy tetszőleges I-beli elemmel balról, az eredmény szintén I-ben lesz. Röviden kifejezve komplexusműveletekkel: 
és 
. Egy részhalmazt jobbideálnak nevezünk, ha a szorzás azonossága jobbról igaz, azaz 
. Amennyiben egy részhalmaz bal-, és jobbideál egyszerre, akkor ideálnak nevezzük. Kommutatív gyűrűben nyilván minden bal-, és jobbideál egyben ideál is, hiszen a szorzás ekkor felcserélhető. Az ideáloknak fontos szerepük van testbővítéseknél, ekkor egy irreducibilis polinom által generált ideál szerinti faktorgyűrűt vizsgálunk, ami test lesz, hiszen a szóban forgó ideál maximális. (Ezek viszonylag egyszerűen következnek a definíciókból).
[szerkesztés] Példák részgyűrűkre, és ideálokra
Az egész számok körében a páros számok részgyűrűt alkotnak, hiszen bármely két páros szám összege, és szorzata is páros. Ezzel szemben a páratlan számok nem alkotnak részgyűrűt, hiszen két páratlan szám összege már páros, azaz az összeadás már kivezet a páratlan számok köréből.
A pozitív egész számok körében, egy adott szám többszörösei ideált alkotnak. Tekintsük például a 8 többszöröseit, ekkor az ideálban lesznek 0, 8, 16, 24, 32, 40, stb... Nyilván két ilyen szám különbsége is 8-nak a többszöröse, tehát eleme az ideálnak, valamint akármelyik egész számot szorozva 8-cal, 8-nak ismét egy többszörösét kapom, tehát ez is eleme az ideálnak. Természetesen akármelyik másik egész számra végigkövethető ugyanez.
[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
- Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
)