Δακτύλιος (άλγεβρα)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Δακτύλιος στα μαθηματικά λέγεται μια αλγεβρική δομή, $< R, + , * >$ , η οποία αποτελείται από ένα σύνολο R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς πράξεις $+$ και $*$ που ορίζονται σε αυτό, και οι οποίες αποκαλούνται αντίστοιχα πρόσθεση και πολλαπλασιασμός, έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα:

Το < R, + > (δηλ. το R μαζί με την πρόσθεση +) είναι μια αβελιανή ομάδα με ουδέτερο στοιχείο το 0:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- a + b = b + a
- 0 + a = a + 0 = a
- ∀a ∃(−a) τέτοιο ώστε a + −a = −a + a = 0
Ο πολλαπλασιασμός (*) ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
Ο πολλαπλασιασμός (*) είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Δηλαδή, για κάθε $a,b,c\in R$ ισχύουν ο αριστερός επιμεριστικός νόμος, $a * (b + c) = a * b + a * c$ και ο δεξιός επιμεριστικός νόμος $(a + b) * c = a * c + b * c$ .

Εάν επιπλέον ορίζεται στον δακτύλιο μοναδιαίο στοιχείο, δηλαδή ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό (*), ο δακτύλιος λέγεται δακτύλιος με μοναδιαίο ή 1-δακτύλιος.

Αν το $< R, * >$ είναι αβελιανή ομάδα τότε ο δακτύλιος λέγεται αντιμεταθετικός ή μεταθετικός.

Έστω $R$ ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο. Ένα στοιχείο $u\in R$ λέγεται αντιστρέψιμο αν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο στον $R$ , δηλαδη:

u

είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν υπάρχει $b\in R$ τέτοιο ώστε

a * b = 1

Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο του $R$ είναι αντιστρέψιμο , τότε ο $R$ λέγεται δακτύλιος διαίρεσης.

Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης είναι σώμα. Ειδικότερα, κάθε σώμα είναι δακτύλιος.

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

Το μονοσύνολο που περιέχει το μηδέν είναι δακτύλιος κατά τετριμμένο τρόπο.
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών με τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος.
Οι ακέραιοι του Γκάους με τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο.