איבר האפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה, איבר האפס הוא איבר בחבורה, חוג, שדה, מודול או מונואיד שהוא איבר היחידה ביחס לפעולת החיבור המוגדרת במבנה אלגברי זה.

דוגמאות:

• במספרים הטבעיים, בחוג המספרים השלמים, בשדה המספרים הרציונליים, בשדה המספרים הממשיים ובשדה המספרים המרוכבים, המספר 0 הוא איבר האפס, כמתבקש משמו.
• בחוג הקווטרניונים, 0 הוא איבר האפס.
• בשדה הפונקציות מ-R אל R, הפונקציה הנותנת לכל משתנה את הערך 0 היא איבר האפס.
• בחוג המטריצות הריבועיות מגודל נתון, המטריצה שכולה אפסים היא איבר האפס.

[עריכה] יחידות

אם נניח שמבנה אלגברי יש שני איברי אפס, 0 ו-'0, יתקיים 0 = 0 + '0 = '0, כלומר איבר האפס הוא יחיד, ולכן ניתן לדבר על "איבר האפס".

[עריכה] תכונות

במבנה אלגברי הכולל בנוסף לפעולת החיבור גם פעולת כפל, איבר האפס הוא מעין "חור שחור", משום שלכל איבר a במבמנה אלגברי זה מתקיים a·0 = 0. כדי להוכיח זאת נרשום a·0 = a·(0 + 0) = a·0 + a·0, וכעת ניתן להפחית a·0 משני האגפים ולקבל a·0 = 0.

בכל חבורה, הקבוצה המכילה את איבר האפס לבדו תהיה תת-חבורה. זוהי חבורה טריוויאלית. תכונה דומה מתקיימת במונואיד ובחוג (ולכן גם בשדה).

[עריכה] ראו גם

• איבר יחידה
• 0